初级微积分示例

$25 x^{2} - 4 y^{2} + 300 x + 32 y + 936 = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $936$ 。

$25 x^{2} - 4 y^{2} + 300 x + 32 y = - 936$

解题步骤 2

对 $25 x^{2} + 300 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 25$

$b = 300$

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{300}{2 \cdot 25}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $300$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从 $300$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 150}{2 \cdot 25}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 25$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 150}{2 (25)}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 150}{2 \cdot 25}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{150}{25}$

解题步骤 2.3.2.2

约去 $150$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $150$ 中分解出因数 $25$ 。

$d = \frac{25 \cdot 6}{25}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $25$ 。

$d = \frac{25 \cdot 6}{25 (1)}$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{25 \cdot 6}{25 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{6}{1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.4

用 $6$ 除以 $1$ 。

$d = 6$

解题步骤 2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{300^{2}}{4 \cdot 25}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对 $300$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{90000}{4 \cdot 25}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$e = 0 - \frac{90000}{100}$

解题步骤 2.4.2.1.3

用 $90000$ 除以 $100$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 900$

解题步骤 2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $900$ 。

$e = 0 - 900$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $900$ 。

$e = - 900$

解题步骤 2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $25 {(x + 6)}^{2} - 900$ 。

$25 {(x + 6)}^{2} - 900$

解题步骤 3

在方程 $25 x^{2} - 4 y^{2} + 300 x + 32 y = - 936$ 中，用 $25 {(x + 6)}^{2} - 900$ 代替 $25 x^{2} + 300 x$ 。

$25 {(x + 6)}^{2} - 900 - 4 y^{2} + 32 y = - 936$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $900$ 的方法来将 $- 900$ 移到等式右边。

$25 {(x + 6)}^{2} - 4 y^{2} + 32 y = - 936 + 900$

解题步骤 5

对 $- 4 y^{2} + 32 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 4$

$b = 32$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{32}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $32$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (- 4)}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{16}{- 4}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $16$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$d = \frac{4 (4)}{- 4}$

解题步骤 5.3.2.2.2

移动 $\frac{4}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 4$

解题步骤 5.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$d = - 4$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot - 4}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $32$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot - 4}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$e = 0 - \frac{1024}{- 16}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用 $1024$ 除以 $- 16$ 。

$e = 0 - - 64$

解题步骤 5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 64$ 。

$e = 0 + 64$

解题步骤 5.4.2.2

将 $0$ 和 $64$ 相加。

$e = 64$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$ 。

$- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$

解题步骤 6

在方程 $25 x^{2} - 4 y^{2} + 300 x + 32 y = - 936$ 中，用 $- 4 {(y - 4)}^{2} + 64$ 代替 $- 4 y^{2} + 32 y$ 。

$25 {(x + 6)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} + 64 = - 936 + 900$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $64$ 的方法来将 $64$ 移到等式右边。

$25 {(x + 6)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = - 936 + 900 - 64$

解题步骤 8

化简 $- 936 + 900 - 64$ 。

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解题步骤 8.1

将 $- 936$ 和 $900$ 相加。

$25 {(x + 6)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = - 36 - 64$

解题步骤 8.2

从 $- 36$ 中减去 $64$ 。

$25 {(x + 6)}^{2} - 4 {(y - 4)}^{2} = - 100$

解题步骤 9

反转方程的每一项，使其右边的项为正。

$- 25 {(x + 6)}^{2} + 4 {(y - 4)}^{2} = 100$

解题步骤 10

将每一项除以 $100$ 以使方程右边等于一。

$- \frac{25 {(x + 6)}^{2}}{100} + \frac{4 {(y - 4)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

解题步骤 11

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{25} - \frac{{(x + 6)}^{2}}{4} = 1$

初级微积分 示例

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