初级微积分示例

$s (t) = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

解题步骤 1

将负号移到分数的前面。

$s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, (t - 4) (t - 8)$

解题步骤 2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$(t - 4) (t - 8)$

解题步骤 3

将 $s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ 中的每一项乘以 $(t - 4) (t - 8)$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ 中的每一项乘以 $(t - 4) (t - 8)$ 。

$s t ((t - 4) (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(t - 4) (t - 8)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$s t (t (t - 8) - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.1.2

运用分配律。

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 (t - 8)) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$s t (t \cdot t + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$s t (t^{2} + t \cdot - 8 - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 8$ 移到 $t$ 的左侧。

$s t (t^{2} - 8 \cdot t - 4 t - 4 \cdot - 8) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$s t (t^{2} - 8 t - 4 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.2.2

从 $- 8 t$ 中减去 $4 t$ 。

$s t (t^{2} - 12 t + 32) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$s t \cdot t^{2} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.4

化简。

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解题步骤 3.2.4.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

移动 $t^{2}$ 。

$s (t^{2} t) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$s (t^{2} t^{1}) + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$s t^{2 + 1} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.4.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$s t^{3} + s t (- 12 t) + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + s t \cdot 32 = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.4.3

将 $32$ 移到 $s t$ 的左侧。

$s t^{3} - 12 s t \cdot t + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.5

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

移动 $t$ 。

$s t^{3} - 12 s (t \cdot t) + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.2.5.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 \cdot (s t) = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $(t - 4) (t - 8)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $- \frac{7 t}{(t - 4) (t - 8)}$ 中前置负号移到分子中。

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = \frac{- 7 t}{(t - 4) (t - 8)} ((t - 4) (t - 8))$

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t = - 7 t$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

在等式两边都加上 $7 t$ 。

$s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

解题步骤 4.2

从 $s t^{3} - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $s t^{3}$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (s t^{2}) - 12 s t^{2} + 32 s t + 7 t = 0$

解题步骤 4.2.2

从 $- 12 s t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + 32 s t + 7 t = 0$

解题步骤 4.2.3

从 $32 s t$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + 7 t = 0$

解题步骤 4.2.4

从 $7 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (s t^{2}) + t (- 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

解题步骤 4.2.5

从 $t (s t^{2}) + t (- 12 s t)$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s) + t \cdot 7 = 0$

解题步骤 4.2.6

从 $t (s t^{2} - 12 s t) + t (32 s)$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7 = 0$

解题步骤 4.2.7

从 $t (s t^{2} - 12 s t + 32 s) + t \cdot 7$ 中分解出因数 $t$ 。

$t (s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7) = 0$

解题步骤 4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$t = 0$

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

解题步骤 4.4

将 $t$ 设为等于 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 4.5

将 $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7$ 设为等于 $0$ 。

$s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$

解题步骤 4.5.2

求解 $t$ 的 $s t^{2} - 12 s t + 32 s + 7 = 0$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5.2.2

将 $a = s$ 、 $b = - 12 s$ 和 $c = 32 s + 7$ 的值代入二次公式中并求解 $t$ 。

$\frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3

化简。

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解题步骤 4.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.2.3.1.1

添加圆括号。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12 s)}^{2} - 4 \cdot (s \cdot (32 s + 7))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.2

使 $u = s \cdot (32 s + 7)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $s \cdot (32 s + 7)$ 。

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解题步骤 4.5.2.3.1.2.1

对 $- 12 s$ 运用乘积法则。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} s^{2} - 4 \cdot u}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.2.2

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{144 s^{2} - 4 u}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.3

从 $144 s^{2} - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.5.2.3.1.3.1

从 $144 s^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) - 4 u}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.3.2

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2}) + 4 (- u)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.3.3

从 $4 (36 s^{2}) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - u)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.4

使用 $s \cdot (32 s + 7)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s \cdot (32 s + 7)))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.5

化简。

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解题步骤 4.5.2.3.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.2.3.1.5.1.1

运用分配律。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (s (32 s) + s \cdot 7))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.5.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + s \cdot 7))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.5.1.3

将 $7$ 移到 $s$ 的左侧。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s \cdot s + 7 \cdot s))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.5.1.4

通过指数相加将 $s$ 乘以 $s$ 。

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解题步骤 4.5.2.3.1.5.1.4.1

移动 $s$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 (s \cdot s) + 7 \cdot s))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.5.1.4.2

将 $s$ 乘以 $s$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 \cdot s))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2} + 7 s))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.5.1.5

运用分配律。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - (32 s^{2}) - (7 s))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.5.1.6

将 $32$ 乘以 $- 1$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - (7 s))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.5.1.7

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (36 s^{2} - 32 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.5.2

从 $36 s^{2}$ 中减去 $32 s^{2}$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (4 s^{2} - 7 s)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.6

从 $4 s^{2} - 7 s$ 中分解出因数 $s$ 。

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解题步骤 4.5.2.3.1.6.1

从 $4 s^{2}$ 中分解出因数 $s$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) - 7 s)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.6.2

从 $- 7 s$ 中分解出因数 $s$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s) + s \cdot - 7)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.6.3

从 $s (4 s) + s \cdot - 7$ 中分解出因数 $s$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 (s (4 s - 7))}}{2 s}$

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{4 s (4 s - 7)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.7

将 $4 s (4 s - 7)$ 重写为 $2^{2} (s (2^{2} s - 7))$ 。

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解题步骤 4.5.2.3.1.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (4 s - 7)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.7.3

添加圆括号。

$t = \frac{12 s \pm \sqrt{2^{2} (s (2^{2} s - 7))}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (2^{2} s - 7)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$t = \frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$

解题步骤 4.5.2.3.2

化简 $\frac{12 s \pm 2 \sqrt{s (4 s - 7)}}{2 s}$ 。

$t = \frac{6 s \pm \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$

解题步骤 4.5.2.4

最终答案为两个解的组合。

$t = \frac{6 s + \sqrt{s (4 s - 7)}}{s}$