初级微积分示例

${(\frac{1}{5})}^{2} + \cos^{2} (t) = 1$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{2}}{5^{2}} + \cos^{2} (t) = 1$

解题步骤 1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{5^{2}} + \cos^{2} (t) = 1$

解题步骤 1.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{25} + \cos^{2} (t) = 1$

解题步骤 2

将所有不包含 $\cos (t)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{25}$ 。

$\cos^{2} (t) = 1 - \frac{1}{25}$

解题步骤 2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\cos^{2} (t) = \frac{25}{25} - \frac{1}{25}$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\cos^{2} (t) = \frac{25 - 1}{25}$

解题步骤 2.4

从 $25$ 中减去 $1$ 。

$\cos^{2} (t) = \frac{24}{25}$

解题步骤 3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\cos (t) = \pm \sqrt{\frac{24}{25}}$

解题步骤 4

化简 $\pm \sqrt{\frac{24}{25}}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sqrt{\frac{24}{25}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$ 。

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{4 (6)}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (t) = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 4.2.2

从根式下提出各项。

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{25}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{5^{2}}}$

解题步骤 4.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (t) = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

解题步骤 5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}, - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

解题步骤 6

建立每一个解以求解 $t$ 。

$\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

解题步骤 7

在 $\cos (t) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ 中求解 $t$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $t$ 。

$t = \arccos (\frac{2 \sqrt{6}}{5})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\arccos (\frac{2 \sqrt{6}}{5})$ 。

$t = 0.20135792$

解题步骤 7.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$t = 2 (3.14159265) - 0.20135792$

解题步骤 7.4

求解 $t$ 。

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解题步骤 7.4.1

去掉圆括号。

$t = 2 (3.14159265) - 0.20135792$

解题步骤 7.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 0.20135792$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$t = 6.2831853 - 0.20135792$

解题步骤 7.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $0.20135792$ 。

$t = 6.08182738$

解题步骤 7.5

求 $\cos (t)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.6

$\cos (t)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$t = 0.20135792 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

在 $\cos (t) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ 中求解 $t$ 。

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解题步骤 8.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $t$ 。

$t = \arccos (- \frac{2 \sqrt{6}}{5})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\arccos (- \frac{2 \sqrt{6}}{5})$ 。

$t = 2.94023473$

解题步骤 8.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$t = 2 (3.14159265) - 2.94023473$

解题步骤 8.4

求解 $t$ 。

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解题步骤 8.4.1

去掉圆括号。

$t = 2 (3.14159265) - 2.94023473$

解题步骤 8.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 2.94023473$ 。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$t = 6.2831853 - 2.94023473$

解题步骤 8.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $2.94023473$ 。

$t = 3.34295057$

解题步骤 8.5

求 $\cos (t)$ 的周期。

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解题步骤 8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 8.6

$\cos (t)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$t = 2.94023473 + 2 π n, 3.34295057 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

列出所有解。

$t = 0.20135792 + 2 π n, 6.08182738 + 2 π n, 2.94023473 + 2 π n, 3.34295057 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并解集。

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解题步骤 10.1

将 $0.20135792 + 2 π n$ 和 $3.34295057 + 2 π n$ 合并为 $0.20135792 + π n$ 。

$t = 0.20135792 + π n, 6.08182738 + 2 π n, 2.94023473 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.2

将 $6.08182738 + 2 π n$ 和 $2.94023473 + 2 π n$ 合并为 $2.94023473 + π n$ 。

$t = 0.20135792 + π n, 2.94023473 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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