初级微积分示例

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{16} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 3$

$b = 4$

$k = - 1$

$h = - 4$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(- 4, - 1)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{9 + 16}$

解题步骤 5.3.3

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$\sqrt{25}$

解题步骤 5.3.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\sqrt{5^{2}}$

解题步骤 5.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$5$

解题步骤 6

求顶点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 4, 2)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $k$ 中减去 $a$ 求得。

$(h, k - a)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 4, - 4)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h, k \pm a)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(- 4, 2), (- 4, - 4)$

解题步骤 7

求焦点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 4, 4)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $k$ 中减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 4, - 6)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(- 4, 4), (- 4, - 6)$

解题步骤 8

求离心率。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

解题步骤 8.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

解题步骤 8.3.3

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

解题步骤 8.3.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

解题步骤 8.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5}{3}$

解题步骤 9

求焦点参数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{4^{2}}{5}$

解题步骤 9.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{16}{5}$

解题步骤 10

因为双曲线为上下开口，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 形式。

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

解题步骤 11

化简求第一条渐近线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

解题步骤 11.2

化简 $\frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{3}{4} \cdot (x + 4) - 1$

解题步骤 11.2.1.2

运用分配律。

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

解题步骤 11.2.1.3

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.4.1

约去公因数。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

解题步骤 11.2.1.4.2

重写表达式。

$y = \frac{3 x}{4} + 3 - 1$

解题步骤 11.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$y = \frac{3 x}{4} + 2$

解题步骤 12

化简求第二条渐近线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$

解题步骤 12.2

化简 $- \frac{3}{4} \cdot (x - (- 4)) - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x + 4) - 1$

解题步骤 12.2.1.2

运用分配律。

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

解题步骤 12.2.1.3

组合 $x$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4 - 1$

解题步骤 12.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1.4.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 - 1$

解题步骤 12.2.1.4.2

约去公因数。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot 4 - 1$

解题步骤 12.2.1.4.3

重写表达式。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 - 1$

解题步骤 12.2.1.5

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{3 x}{4} - 3 - 1$

解题步骤 12.2.2

从 $- 3$ 中减去 $1$ 。

$y = - \frac{3 x}{4} - 4$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{3 x}{4} + 2, y = - \frac{3 x}{4} - 4$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(- 4, - 1)$

顶点： $(- 4, 2), (- 4, - 4)$

焦点： $(- 4, 4), (- 4, - 6)$

离心率： $\frac{5}{3}$

焦点参数： $\frac{16}{5}$

渐近线： $y = \frac{3 x}{4} + 2$ ， $y = - \frac{3 x}{4} - 4$

解题步骤 15

初级微积分 示例

初级微积分示例