初级微积分示例

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$

解题步骤 1

将 $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + 2 x = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + 2 x = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.1.5

从 $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 2 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 2 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 2.4.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 2.4.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 1 + i$

解题步骤 2.4.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 2.4.2.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 2.4.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 1 - i$

解题步骤 2.4.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i, 1 - i$

解题步骤 2.5

最终解为使 $x (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

$x = 0$ ( $1$ 的倍数)

$x = 1 + i$ ( $1$ 的倍数)

$x = 1 - i$ ( $1$ 的倍数)

$x = 0$ ( $1$ 的倍数)

$x = 1 + i$ ( $1$ 的倍数)

$x = 1 - i$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 3

初级微积分 示例

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