初级微积分示例

${(4 a - b)}^{3}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(4 a - b)}^{3}$ , $n = 3$ ，所以展开系数将对应直线 $4$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 3 - 3 - 1$ 。

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

解题步骤 3

将 $a$ $4 a$ 和 $b$ $- b$ 的实际值代入表达式。

$1 {(4 a)}^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(4 a)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

${(4 a)}^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.2

对 $4 a$ 运用乘积法则。

$4^{3} a^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 a^{3} {(- b)}^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.4

对 $- b$ 运用乘积法则。

$64 a^{3} ({(- 1)}^{0} b^{0}) + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.5

使用乘法的交换性质重写。

$64 \cdot {(- 1)}^{0} a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$64 \cdot 1 a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.7

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$64 a^{3} b^{0} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$64 a^{3} \cdot 1 + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.9

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$64 a^{3} + 3 {(4 a)}^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.10

对 $4 a$ 运用乘积法则。

$64 a^{3} + 3 (4^{2} a^{2}) {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.11

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 a^{3} + 3 (16 a^{2}) {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.12

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$64 a^{3} + 48 a^{2} {(- b)}^{1} + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.13

化简。

$64 a^{3} + 48 a^{2} (- b) + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.14

使用乘法的交换性质重写。

$64 a^{3} + 48 \cdot - 1 a^{2} b + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.15

将 $48$ 乘以 $- 1$ 。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 3 {(4 a)}^{1} {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.16

化简。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 3 (4 a) {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.17

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a {(- b)}^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.18

对 $- b$ 运用乘积法则。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.19

使用乘法的交换性质重写。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.20

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 \cdot 1 a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.21

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.22

将 ${(4 a)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(4 a)}^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.23

对 $4 a$ 运用乘积法则。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 4^{0} a^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.24

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 a^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.25

将 $a^{0}$ 乘以 $1$ 。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + a^{0} {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.26

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + 1 {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.27

将 ${(- b)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(- b)}^{3}$

解题步骤 4.28

对 $- b$ 运用乘积法则。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}$

解题步骤 4.29

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 a^{3} - 48 a^{2} b + 12 a b^{2} - b^{3}$

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