初级微积分示例

${(x + \frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(x + \frac{3}{x})}^{4}$ , $n = 4$ ，所以展开系数将对应直线 $5$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ 。

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

解题步骤 3

将 $a$ $x$ 和 $b$ $\frac{3}{x}$ 的实际值代入表达式。

$1 {(x)}^{4} {(\frac{3}{x})}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

${(x)}^{4} {(\frac{3}{x})}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.2

对 $\frac{3}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{4} \frac{3^{0}}{x^{0}} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{4} \frac{1}{x^{0}} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{4} \frac{1}{1} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.5

用 $1$ 除以 $1$ 。

$x^{4} \cdot 1 + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.6

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{3}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.7

化简。

$x^{4} + 4 x^{3} \frac{3}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.8

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{4} + x (4 x^{2}) \frac{3}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.8.2

约去公因数。

$x^{4} + x (4 x^{2}) \frac{3}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.8.3

重写表达式。

$x^{4} + 4 x^{2} \cdot 3 + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.9

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{3}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.10

对 $\frac{3}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 x^{2} \frac{3^{2}}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 x^{2} \frac{9}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.12

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.12.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 12 x^{2} + x^{2} \cdot 6 \frac{9}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.12.2

约去公因数。

$x^{4} + 12 x^{2} + x^{2} \cdot 6 \frac{9}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.12.3

重写表达式。

$x^{4} + 12 x^{2} + 6 \cdot 9 + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.13

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 {(x)}^{1} {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.14

化简。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 x {(\frac{3}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.15

对 $\frac{3}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 x \frac{3^{3}}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.16

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 x \frac{27}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.17

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.17.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + x \cdot 4 \frac{27}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.17.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + x \cdot 4 \frac{27}{x \cdot x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.17.3

约去公因数。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + x \cdot 4 \frac{27}{x \cdot x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.17.4

重写表达式。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + 4 \frac{27}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.18

组合 $4$ 和 $\frac{27}{x^{2}}$ 。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{4 \cdot 27}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.19

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.20

将 ${(x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + {(x)}^{0} {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.21

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + 1 {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.22

将 ${(\frac{3}{x})}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + {(\frac{3}{x})}^{4}$

解题步骤 4.23

对 $\frac{3}{x}$ 运用乘积法则。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + \frac{3^{4}}{x^{4}}$

解题步骤 4.24

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$x^{4} + 12 x^{2} + 54 + \frac{108}{x^{2}} + \frac{81}{x^{4}}$

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