初级微积分示例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$1 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} \geq - 1$

解题步骤 2.2

将 $- x^{2} \geq - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- x^{2} \geq - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 1$

解题步骤 2.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

解题步骤 2.4

化简方程。

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解题步骤 2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{1}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| x | \leq 1$

解题步骤 2.5

将 $| x | \leq 1$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 1$

解题步骤 2.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 1$

解题步骤 2.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.6

求 $x \leq 1$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 1$

解题步骤 2.7

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 1$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $- x \leq 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $- x \leq 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.1.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 2.7.2

求 $x \geq - 1$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 1 \leq x < 0$

解题步骤 2.8

求解的并集。

$- 1 \leq x \leq 1$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

化简。

$1 - x^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 - x^{2} = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} = - 1$

解题步骤 4.3.2

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 4.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 4.3.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 4.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 4.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 4.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- 1, 1)$

集合符号：

${x | - 1 < x < 1}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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