初级微积分示例

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = - x^{2} - 4 x - 1$ 写为等式。

$y = - x^{2} - 4 x - 1$

解题步骤 2

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- x^{2} - 4 x - 1 = y$

解题步骤 3

在等式两边都加上 $1$ 。

$- x^{2} - 4 x = y + 1$

解题步骤 4

配方。

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解题步骤 4.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0 = y + 1$

解题步骤 4.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 1$

解题步骤 4.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.1

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.2.1.2

移动 $\frac{- 2}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot - 2$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 1 \cdot - 2$ 重写为 $- - 2$ 。

$d = - - 2$

解题步骤 4.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$d = 2$

解题步骤 4.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1.1

约去 ${(- 4)}^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 4.4.2.1.1.2

对 $- 1 (4)$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 4.4.2.1.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 4.4.2.1.1.4

将 $4^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 4.4.2.1.1.5

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 4.4.2.1.1.6

移动 $\frac{4}{- 1}$ 中分母的负号。

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

解题步骤 4.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - - 4$

解题步骤 4.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$e = 0 + 4$

解题步骤 4.4.2.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$e = 4$

解题步骤 4.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x + 2)}^{2} + 4$ 。

$- {(x + 2)}^{2} + 4 = y + 1$

解题步骤 5

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- {(x + 2)}^{2} = y + 1 - 4$

解题步骤 5.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- {(x + 2)}^{2} = y - 3$

解题步骤 6

将 $- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $- {(x + 2)}^{2} = y - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- {(x + 2)}^{2}}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

用 ${(x + 2)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x + 2)}^{2} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

移动 $\frac{y}{- 1}$ 中分母的负号。

${(x + 2)}^{2} = - 1 \cdot y + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.2

将 $- 1 \cdot y$ 重写为 $- y$ 。

${(x + 2)}^{2} = - y + \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.3.1.3

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

${(x + 2)}^{2} = - y + 3$

解题步骤 7

因数。

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解题步骤 7.1

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

${(x + 2)}^{2} = - (y) + 3$

解题步骤 7.2

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

${(x + 2)}^{2} = - (y) - 1 (- 3)$

解题步骤 7.3

从 $- (y) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

${(x + 2)}^{2} = - (y - 3)$

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