初级微积分示例

$y = 4 \cos (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$4 (- \sin (x))$

解题步骤 1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - 4 \cos (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 \sin (x) = 0$

解题步骤 4

将 $- 4 \sin (x) = 0$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $- 4 \sin (x) = 0$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{0}{- 4}$

解题步骤 4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 6

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 8

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 9

方程 $x = 0$ 的解。

$x = 0, π$

解题步骤 10

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 \cos (0)$

解题步骤 11

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 11.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 13

求 $x = 0$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 4 \cos (0)$

解题步骤 13.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 4 \cdot 1$

解题步骤 13.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 4$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $4$ 。

$y = 4$

解题步骤 14

计算在 $x = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4 \cos (π)$

解题步骤 15

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 4 (- \cos (0))$

解题步骤 15.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.3

乘以 $- 4 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \cdot - 1$

解题步骤 15.3.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4$

解题步骤 16

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = π$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = π$ 是一个极小值

解题步骤 17

求 $x = π$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $x$ 。

$f (π) = 4 \cos (π)$

解题步骤 17.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (π) = 4 (- \cos (0))$

解题步骤 17.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = 4 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 17.2.3

乘以 $4 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = 4 \cdot - 1$

解题步骤 17.2.3.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (π) = - 4$

解题步骤 17.2.4

最终答案为 $- 4$ 。

$y = - 4$

解题步骤 18

这些是 $f (x) = 4 \cos (x)$ 的局部极值。

$(0, 4)$ 是一个局部最大值

$(π, - 4)$ 是一个局部最小值

解题步骤 19

初级微积分 示例

初级微积分示例