初级微积分示例

$d = 8 \cos (\frac{3 π}{4} t)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{3 π}{4}$ 和 $t$ 。

$\frac{d}{d t} [8 \cos (\frac{3 π t}{4})]$

解题步骤 1.1.2

因为 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $8 \cos (\frac{3 π t}{4})$ 对 $t$ 的导数是 $8 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{3 π t}{4})]$ 。

$8 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{3 π t}{4})]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = \frac{3 π t}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 π t}{4}$ 。

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

解题步骤 1.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

解题步骤 1.2.3

使用 $\frac{3 π t}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (- \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 (\sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{3 π t}{4}])$

解题步骤 1.3.2

因为 $\frac{3 π}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{3 π t}{4}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 8 \sin (\frac{3 π t}{4}) (\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.3.3

化简项。

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解题步骤 1.3.3.1

组合 $\frac{3 π}{4}$ 和 $- 8$ 。

$\frac{3 π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 24 π}{4} \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.3.3

组合 $\frac{- 24 π}{4}$ 和 $\sin (\frac{3 π t}{4})$ 。

$\frac{- 24 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{4} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.3.4

约去 $- 24$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.4.1

从 $- 24 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4 (1)} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}))}{4 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{1} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.3.4.2.4

用 $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ 除以 $1$ 。

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) \cdot 1$

解题步骤 1.3.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 6 π$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})$ 对 $t$ 的导数是 $- 6 π \frac{d}{d t} [\sin (\frac{3 π t}{4})]$ 。

$f'' (t) = - 6 π \frac{d}{d t} \sin (\frac{3 π t}{4})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = \frac{3 π t}{4}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 π t}{4}$ 。

$f'' (t) = - 6 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (t) = - 6 π (\cos (u) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{3 π t}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (t) = - 6 π (\cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (\frac{3 π t}{4}))$

解题步骤 2.3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

因为 $\frac{3 π}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{3 π t}{4}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{3 π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$f'' (t) = - 6 π \cos (\frac{3 π t}{4}) (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t))$

解题步骤 2.3.2

合并分数。

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解题步骤 2.3.2.1

组合 $\frac{3 π}{4}$ 和 $- 6$ 。

$f'' (t) = \frac{3 π \cdot - 6}{4} \cdot (π \cos (\frac{3 π t}{4})) \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$f'' (t) = \frac{- 18 π}{4} \cdot (π \cos (\frac{3 π t}{4})) \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $\frac{- 18 π}{4}$ 和 $π$ 。

$f'' (t) = \frac{- 18 π π}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (t) = \frac{- 18 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.5

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (t) = \frac{- 18 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.7

化简项。

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解题步骤 2.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{3 π t}{4}) \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.7.2

组合 $\frac{- 18 π^{2}}{4}$ 和 $\cos (\frac{3 π t}{4})$ 。

$f'' (t) = \frac{- 18 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.7.3

约去 $- 18$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.3.1

从 $- 18 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{2 (2)} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.7.3.2.2

约去公因数。

$f'' (t) = \frac{2 (- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.7.3.2.3

重写表达式。

$f'' (t) = \frac{- 9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d t} (t)$

解题步骤 2.7.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot \frac{d}{d t} t$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2} \cdot 1$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (t) = - \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π t}{4})}{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$

解题步骤 4

将 $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$ 中的每一项除以 $- 6 π$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$ 中的每一项都除以 $- 6 π$ 。

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{- 6 π} = \frac{0}{- 6 π}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 π \sin (\frac{3 π t}{4})}{- 6 π} = \frac{0}{- 6 π}$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π \sin (\frac{3 π t}{4})}{π} = \frac{0}{- 6 π}$

解题步骤 4.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π \sin (\frac{3 π t}{4})}{π} = \frac{0}{- 6 π}$

解题步骤 4.2.2.2

用 $\sin (\frac{3 π t}{4})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{0}{- 6 π}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

约去 $0$ 和 $- 6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $6$ 。

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 (0)}{- 6 π}$

解题步骤 4.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.1.2.1

从 $- 6 π$ 中分解出因数 $6$ 。

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 (0)}{6 (- π)}$

解题步骤 4.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{6 \cdot 0}{6 (- π)}$

解题步骤 4.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = \frac{0}{- π}$

解题步骤 4.3.2

用 $0$ 除以 $- π$ 。

$\sin (\frac{3 π t}{4}) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$\frac{3 π t}{4} = \arcsin (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{3 π t}{4} = 0$

解题步骤 7

将分子设为等于零。

$3 π t = 0$

解题步骤 8

将 $3 π t = 0$ 中的每一项除以 $3 π$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $3 π t = 0$ 中的每一项都除以 $3 π$ 。

$\frac{3 π t}{3 π} = \frac{0}{3 π}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 π t}{3 π} = \frac{0}{3 π}$

解题步骤 8.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{3 π}$

解题步骤 8.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{3 π}$

解题步骤 8.2.2.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{0}{3 π}$

解题步骤 8.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$t = \frac{3 (0)}{3 π}$

解题步骤 8.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$t = \frac{3 (0)}{3 (π)}$

解题步骤 8.3.1.2.2

约去公因数。

$t = \frac{3 \cdot 0}{3 π}$

解题步骤 8.3.1.2.3

重写表达式。

$t = \frac{0}{π}$

解题步骤 8.3.2

用 $0$ 除以 $π$ 。

$t = 0$

解题步骤 9

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{3 π t}{4} = π - 0$

解题步骤 10

求解 $t$ 。

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解题步骤 10.1

等式两边同时乘以 $\frac{4}{3 π}$ 。

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

解题步骤 10.2

化简方程的两边。

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解题步骤 10.2.1

化简左边。

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解题步骤 10.2.1.1

化简 $\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4}$ 。

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解题步骤 10.2.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{3 π} \cdot \frac{3 π t}{4} = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

解题步骤 10.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

解题步骤 10.2.1.1.2

约去 $3 π$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1.1.2.1

从 $3 π t$ 中分解出因数 $3 π$ 。

$\frac{1}{3 π} (3 π (t)) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

解题步骤 10.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3 π} (3 π t) = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

解题步骤 10.2.1.1.2.3

重写表达式。

$t = \frac{4}{3 π} (π - 0)$

解题步骤 10.2.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.2.1

化简 $\frac{4}{3 π} (π - 0)$ 。

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解题步骤 10.2.2.1.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$t = \frac{4}{3 π} π$

解题步骤 10.2.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.1.2.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$t = \frac{4}{π \cdot 3} π$

解题步骤 10.2.2.1.2.2

约去公因数。

$t = \frac{4}{π \cdot 3} π$

解题步骤 10.2.2.1.2.3

重写表达式。

$t = \frac{4}{3}$

解题步骤 11

方程 $\frac{3 π t}{4} = 0$ 的解。

$t = 0, \frac{4}{3}$

解题步骤 12

计算在 $t = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π (0)}{4})}{2}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1

从 $3 π (0)$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4})}{2}$

解题步骤 13.1.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4 (1)})}{2}$

解题步骤 13.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 (3 π \cdot (0))}{4 \cdot 1})}{2}$

解题步骤 13.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π \cdot (0)}{1})}{2}$

解题步骤 13.1.2.4

用 $3 π \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (3 π \cdot (0))}{2}$

解题步骤 13.2

化简分子。

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解题步骤 13.2.1

合并指数。

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解题步骤 13.2.1.1

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (0 π)}{2}$

解题步骤 13.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (0)}{2}$

解题步骤 13.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cdot 1}{2}$

解题步骤 13.2.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{9 π^{2}}{2}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $t = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$t = 0$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $t = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $t$ 。

$f (0) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot (0))$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

将 $\frac{3 π}{4}$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 8 \cos (0)$

解题步骤 15.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 8 \cdot 1$

解题步骤 15.2.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = 8$

解题步骤 15.2.4

最终答案为 $8$ 。

$y = 8$

解题步骤 16

计算在 $t = \frac{4}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{3 π (\frac{4}{3})}{4})}{2}$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简分子。

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解题步骤 17.1.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $3$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 \cdot 3}{3} π}{4})}{2}$

解题步骤 17.1.2

组合 $\frac{4 \cdot 3}{3}$ 和 $π$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 \cdot 3 π}{3}}{4})}{2}$

解题步骤 17.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{4})}{2}$

解题步骤 17.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 17.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{12 π}{3}$ 。

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解题步骤 17.3.1.1

从 $12 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})}{2}$

解题步骤 17.3.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{4})}{2}$

解题步骤 17.3.1.3

约去公因数。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{4})}{2}$

解题步骤 17.3.1.4

重写表达式。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{4})}{2}$

解题步骤 17.3.2

用 $4 π$ 除以 $1$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

解题步骤 17.4

化简分子。

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解题步骤 17.4.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.4.1.1

约去公因数。

$- \frac{9 π^{2} \cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

解题步骤 17.4.1.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cos (π)}{2}$

解题步骤 17.4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{9 π^{2} (- \cos (0))}{2}$

解题步骤 17.4.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{9 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

解题步骤 17.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{9 π^{2} \cdot - 1}{2}$

解题步骤 17.4.5

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{- 9 π^{2}}{2}$

解题步骤 17.5

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{9 π^{2}}{2}$

解题步骤 17.6

乘以 $- - \frac{9 π^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 17.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{9 π^{2}}{2}$

解题步骤 17.6.2

将 $\frac{9 π^{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9 π^{2}}{2}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $t = \frac{4}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$t = \frac{4}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $t = \frac{4}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $\frac{4}{3}$ 替换变量 $t$ 。

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot (\frac{4}{3}))$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{4}{3})$

解题步骤 19.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} \cdot \frac{4}{3})$

解题步骤 19.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot 4)$

解题步骤 19.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.2.1

约去公因数。

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot 4)$

解题步骤 19.2.2.2

重写表达式。

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cos (π)$

解题步骤 19.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{4}{3}) = 8 (- \cos (0))$

解题步骤 19.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{4}{3}) = 8 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 19.2.5

乘以 $8 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 19.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{4}{3}) = 8 \cdot - 1$

解题步骤 19.2.5.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{4}{3}) = - 8$

解题步骤 19.2.6

最终答案为 $- 8$ 。

$y = - 8$

解题步骤 20

这些是 $f (t) = 8 \cos (\frac{3 π}{4} t)$ 的局部极值。

$(0, 8)$ 是一个局部最大值

$(\frac{4}{3}, - 8)$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

初级微积分 示例

初级微积分示例