初级微积分示例

$d = 5 \sin (\frac{π}{4} t)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $t$ 。

$\frac{d}{d t} [5 \sin (\frac{π t}{4})]$

解题步骤 1.1.2

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 \sin (\frac{π t}{4})$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{4})]$ 。

$5 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{4})]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = \frac{π t}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π t}{4}$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{4}])$

解题步骤 1.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$5 (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{4}])$

解题步骤 1.2.3

使用 $\frac{π t}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (\cos (\frac{π t}{4}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{4}])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{π}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{π t}{4}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$5 \cos (\frac{π t}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.3.2

合并分数。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $\frac{π}{4}$ 和 $5$ 。

$\frac{π \cdot 5}{4} \cos (\frac{π t}{4}) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.2.2

组合 $\frac{π \cdot 5}{4}$ 和 $\cos (\frac{π t}{4})$ 。

$\frac{π \cdot 5 \cos (\frac{π t}{4})}{4} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.2.3

将 $5$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot π \cos (\frac{π t}{4})}{4} \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{4} \cdot 1$

解题步骤 1.3.4

将 $\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{4}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{5 π}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{4}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{5 π}{4} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{4})]$ 。

$f'' (t) = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{d}{d t} (\cos (\frac{π t}{4}))$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = \frac{π t}{4}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{π t}{4}$ 。

$f'' (t) = \frac{5 π}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{4}))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (t) = \frac{5 π}{4} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d t} \frac{π t}{4})$

解题步骤 2.2.3

使用 $\frac{π t}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (t) = \frac{5 π}{4} \cdot (- \sin (\frac{π t}{4}) \frac{d}{d t} \frac{π t}{4})$

解题步骤 2.3

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\frac{5 π}{4}$ 和 $\sin (\frac{π t}{4})$ 。

$f'' (t) = - \frac{5 π \sin (\frac{π t}{4})}{4} \cdot \frac{d}{d t} \frac{π t}{4}$

解题步骤 2.3.2

因为 $\frac{π}{4}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{π t}{4}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{π}{4} \frac{d}{d t} [t]$ 。

$f'' (t) = - \frac{5 π \sin (\frac{π t}{4})}{4} \cdot (\frac{π}{4} \cdot \frac{d}{d t} (t))$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{5 π \sin (\frac{π t}{4})}{4}$ 。

$f'' (t) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π t}{4}))}{4 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d t} t$

解题步骤 2.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (t) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π t}{4})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d t} t$

解题步骤 2.5

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (t) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π t}{4})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d t} t$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (t) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π t}{4})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d t} t$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (t) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π t}{4})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d t} t$

解题步骤 2.7.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f'' (t) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π t}{4})}{16} \cdot \frac{d}{d t} t$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (t) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π t}{4})}{16} \cdot 1$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (t) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π t}{4})}{16}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{4} = 0$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$5 π \cos (\frac{π t}{4}) = 0$

解题步骤 5

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $5 π \cos (\frac{π t}{4}) = 0$ 中的每一项除以 $5 π$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $5 π \cos (\frac{π t}{4}) = 0$ 中的每一项都除以 $5 π$ 。

$\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 π \cos (\frac{π t}{4})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

解题步骤 5.1.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π \cos (\frac{π t}{4})}{π} = \frac{0}{5 π}$

解题步骤 5.1.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π \cos (\frac{π t}{4})}{π} = \frac{0}{5 π}$

解题步骤 5.1.2.2.2

用 $\cos (\frac{π t}{4})$ 除以 $1$ 。

$\cos (\frac{π t}{4}) = \frac{0}{5 π}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$\cos (\frac{π t}{4}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

解题步骤 5.1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.3.1.2.1

从 $5 π$ 中分解出因数 $5$ 。

$\cos (\frac{π t}{4}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

解题步骤 5.1.3.1.2.2

约去公因数。

$\cos (\frac{π t}{4}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

解题步骤 5.1.3.1.2.3

重写表达式。

$\cos (\frac{π t}{4}) = \frac{0}{π}$

解题步骤 5.1.3.2

用 $0$ 除以 $π$ 。

$\cos (\frac{π t}{4}) = 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $t$ 。

$\frac{π t}{4} = \arccos (0)$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.4

等式两边同时乘以 $\frac{4}{π}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.5.1

化简左边。

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解题步骤 5.5.1.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ 。

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解题步骤 5.5.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1.1.2.1

从 $π t$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5.1.1.2.3

重写表达式。

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5.2.1.1.2

约去公因数。

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 5.5.2.1.1.3

重写表达式。

$t = \frac{2}{π} π$

解题步骤 5.5.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.2.1

约去公因数。

$t = \frac{2}{π} π$

解题步骤 5.5.2.1.2.2

重写表达式。

$t = 2$

解题步骤 5.6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{π t}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.7

求解 $t$ 。

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解题步骤 5.7.1

等式两边同时乘以 $\frac{4}{π}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.7.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.7.2.1.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ 。

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解题步骤 5.7.2.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1.1.2.1

从 $π t$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.1.1.2.3

重写表达式。

$t = \frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.7.2.2.1

化简 $\frac{4}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 5.7.2.2.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$t = \frac{4}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.2.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$t = \frac{4}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 5.7.2.2.1.3

在公分母上合并分子。

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.7.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.7.2.2.1.4.2

约去公因数。

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.7.2.2.1.4.3

重写表达式。

$t = \frac{2}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

解题步骤 5.7.2.2.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$t = \frac{2}{π} (4 π - π)$

解题步骤 5.7.2.2.1.6

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$t = \frac{2}{π} (3 π)$

解题步骤 5.7.2.2.1.7

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.2.1.7.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$t = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

解题步骤 5.7.2.2.1.7.2

约去公因数。

$t = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

解题步骤 5.7.2.2.1.7.3

重写表达式。

$t = 2 \cdot 3$

解题步骤 5.7.2.2.1.8

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$t = 6$

解题步骤 5.8

方程 $\frac{π t}{4} = \frac{π}{2}$ 的解。

$t = 2, 6$

解题步骤 6

计算在 $t = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (2)}{4})}{16}$

解题步骤 7

计算二阶导数。

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解题步骤 7.1

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

从 $π (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{4})}{16}$

解题步骤 7.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{16}$

解题步骤 7.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{16}$

解题步骤 7.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{16}$

解题步骤 7.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{16}$

解题步骤 7.2.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{5 π^{2}}{16}$

解题步骤 8

因为二阶导数的值为负数，所以 $t = 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$t = 2$ 是一个极大值

解题步骤 9

求 $t = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $t$ 。

$f (2) = 5 \sin (\frac{π}{4} \cdot (2))$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2) = 5 \sin (\frac{π}{2 (2)} \cdot 2)$

解题步骤 9.2.1.2

约去公因数。

$f (2) = 5 \sin (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2)$

解题步骤 9.2.1.3

重写表达式。

$f (2) = 5 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 9.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (2) = 5 \cdot 1$

解题步骤 9.2.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f (2) = 5$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $5$ 。

$y = 5$

解题步骤 10

计算在 $t = 6$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (6)}{4})}{16}$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.1

从 $π (6)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 (π \cdot (3))}{4})}{16}$

解题步骤 11.1.2

约去公因数。

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解题步骤 11.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 (2)})}{16}$

解题步骤 11.1.2.2

约去公因数。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 \cdot 2})}{16}$

解题步骤 11.1.2.3

重写表达式。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (3)}{2})}{16}$

解题步骤 11.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 \cdot π}{2})}{16}$

解题步骤 11.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{16}$

解题步骤 11.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{16}$

解题步骤 11.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{16}$

解题步骤 11.2.5

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{- 5 π^{2}}{16}$

解题步骤 11.3

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{5 π^{2}}{16}$

解题步骤 11.4

乘以 $- - \frac{5 π^{2}}{16}$ 。

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解题步骤 11.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{5 π^{2}}{16}$

解题步骤 11.4.2

将 $\frac{5 π^{2}}{16}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 π^{2}}{16}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以 $t = 6$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$t = 6$ 是一个极小值

解题步骤 13

求 $t = 6$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $t$ 。

$f (6) = 5 \sin (\frac{π}{4} \cdot (6))$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (6) = 5 \sin (\frac{π}{2 (2)} \cdot 6)$

解题步骤 13.2.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (6) = 5 \sin (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3))$

解题步骤 13.2.1.3

约去公因数。

$f (6) = 5 \sin (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3))$

解题步骤 13.2.1.4

重写表达式。

$f (6) = 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

解题步骤 13.2.2

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $3$ 。

$f (6) = 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

解题步骤 13.2.3

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (6) = 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

解题步骤 13.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (6) = 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 13.2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (6) = 5 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 13.2.6

乘以 $5 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 13.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (6) = 5 \cdot - 1$

解题步骤 13.2.6.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f (6) = - 5$

解题步骤 13.2.7

最终答案为 $- 5$ 。

$y = - 5$

解题步骤 14

这些是 $f (t) = 5 \sin (\frac{π}{4} t)$ 的局部极值。

$(2, 5)$ 是一个局部最大值

$(6, - 5)$ 是一个局部最小值

解题步骤 15

初级微积分 示例

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