初级微积分示例

$y = \sqrt{x - 1}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \sqrt{y - 1}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\sqrt{y - 1} = x$ 。

$\sqrt{y - 1} = x$

解题步骤 2.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{y - 1}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y - 1}$ 重写成 ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

化简 ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(y - 1)}^{1} = x^{2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

化简。

$y - 1 = x^{2}$

解题步骤 2.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = x^{2} + 1$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ 是否为 $f (x) = \sqrt{x - 1}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt{x - 1})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(\sqrt{x - 1})}^{2} + 1$

解题步骤 4.2.3

将 ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ 重写为 $x - 1$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

解题步骤 4.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

解题步骤 4.2.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

解题步骤 4.2.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

解题步骤 4.2.3.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = (x - 1) + 1$

解题步骤 4.2.3.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x - 1 + 1$

解题步骤 4.2.4

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x + 0$

解题步骤 4.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{2} + 1)$ 。

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{(x^{2} + 1) - 1}$

解题步骤 4.3.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2} + 0}$

解题步骤 4.3.4

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 4.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (x^{2} + 1) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ 为 $f (x) = \sqrt{x - 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

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