初级微积分示例

$\tan (x) \csc (x) - \tan (x) = 0$

解题步骤 1

从 $\tan (x) \csc (x) - \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1

从 $\tan (x) \csc (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \csc (x) - \tan (x) = 0$

解题步骤 1.2

从 $- \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \csc (x) + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.3

从 $\tan (x) \csc (x) + \tan (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) (\csc (x) - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

$\csc (x) - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 3.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 3.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\csc (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\csc (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\csc (x) - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\csc (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\csc (x) = 1$

解题步骤 4.2.2

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

$arccsc (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 4.2.5.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $\tan (x) (\csc (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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