初级微积分示例

$- \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1 - \sin (θ)$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 1 = - \sin (θ)$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $\sin (θ)$ 。

$- \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 1 + \sin (θ) = 0$

解题步骤 2

化简 $- \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 1 + \sin (θ)$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\cos^{2} (θ)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- \sin^{2} (θ) - 1 + \cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- \sin^{2} (θ) - 1 (1) + \cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.3

从 $\cos^{2} (θ)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \sin^{2} (θ) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.4

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \sin^{2} (θ) - 1 (1 - \cos^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.5

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (θ))$ 。

$- \sin^{2} (θ) - (1 - \cos^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.6

使用勾股恒等式。

$- \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.7

从 $- \sin^{2} (θ)$ 中减去 $\sin^{2} (θ)$ 。

$- 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 3

从 $- 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ)$ 中分解出因数 $- \sin (θ)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $- 2 \sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $- \sin (θ)$ 。

$- \sin (θ) (2 \sin (θ)) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 3.2

将 $\sin (θ)$ 重写为 $1 \sin (θ)$ 。

$- \sin (θ) (2 \sin (θ)) + 1 \sin (θ) = 0$

解题步骤 3.3

从 $1 \sin (θ)$ 中分解出因数 $- \sin (θ)$ 。

$- \sin (θ) (2 \sin (θ)) - \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.4

从 $- \sin (θ) (2 \sin (θ)) - \sin (θ) \cdot - 1$ 中分解出因数 $- \sin (θ)$ 。

$- \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (θ) = 0$

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

解题步骤 5

将 $\sin (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (θ) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $θ$ 的 $\sin (θ) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = π - 0$

解题步骤 5.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$θ = π$

解题步骤 5.2.5

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $2 \sin (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 6.1

将 $2 \sin (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $θ$ 的 $2 \sin (θ) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \sin (θ) = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $\sin (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.4

化简右边。

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解题步骤 6.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$θ = \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.6

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 6.2.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 6.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.6.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 6.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6.2.7

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.8

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $- \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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