初级微积分示例

$x^{3} + 9 x^{2} < - 6 x + 56$

解题步骤 1

在不等式两边同时加上 $6 x$ 。

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x < 56$

解题步骤 2

把不等式转换成方程。

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x = 56$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $56$ 。

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56 = 0$

解题步骤 4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ 。

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解题步骤 4.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

解题步骤 4.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

解题步骤 4.1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

解题步骤 4.1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

解题步骤 4.1.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 + 9 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 56$

解题步骤 4.1.3.4

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$8 + 36 + 6 \cdot 2 - 56$

解题步骤 4.1.3.5

将 $8$ 和 $36$ 相加。

$44 + 6 \cdot 2 - 56$

解题步骤 4.1.3.6

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$44 + 12 - 56$

解题步骤 4.1.3.7

将 $44$ 和 $12$ 相加。

$56 - 56$

解题步骤 4.1.3.8

从 $56$ 中减去 $56$ 。

$0$

解题步骤 4.1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56}{x - 2}$

解题步骤 4.1.5

用 $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ 除以 $x - 2$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$56$

解题步骤 4.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$

解题步骤 4.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 4.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 4.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

解题步骤 4.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 4.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $11 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 4.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

解题步骤 4.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $11 x^{2} - 22 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

解题步骤 4.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$

解题步骤 4.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

解题步骤 4.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $28 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

解题步骤 4.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							+	$28 x$	-	$56$

解题步骤 4.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $28 x - 56$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$

解题步骤 4.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$
										$0$

解题步骤 4.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + 11 x + 28$

解题步骤 4.1.6

将 $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ 书写为因数的集合。

$(x - 2) (x^{2} + 11 x + 28) = 0$

解题步骤 4.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 11 x + 28$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 11 x + 28$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $28$ ，和为 $11$ 。

$4, 7$

解题步骤 4.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 2) ((x + 4) (x + 7)) = 0$

解题步骤 4.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 7 = 0$

解题步骤 6

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 7

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 7.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 8

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 。

$x + 7 = 0$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$x = - 7$

解题步骤 9

最终解为使 $(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 4, - 7$

解题步骤 10

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 7$

$- 7 < x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

解题步骤 11

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 11.1

检验区间 $x < - 7$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 11.1.1

选择区间 $x < - 7$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 10$

解题步骤 11.1.2

使用原不等式中的 $- 10$ 替换 $x$ 。

${(- 10)}^{3} + 9 {(- 10)}^{2} < - 6 \cdot - 10 + 56$

解题步骤 11.1.3

左边的 $- 100$ 小于右边的 $116$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 11.2

检验区间 $- 7 < x < - 4$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 11.2.1

选择区间 $- 7 < x < - 4$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 6$

解题步骤 11.2.2

使用原不等式中的 $- 6$ 替换 $x$ 。

${(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} < - 6 \cdot - 6 + 56$

解题步骤 11.2.3

左边的 $108$ 不小于右边的 $92$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 11.3

检验区间 $- 4 < x < 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 11.3.1

选择区间 $- 4 < x < 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 11.3.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} < - 6 \cdot 0 + 56$

解题步骤 11.3.3

左边的 $0$ 小于右边的 $56$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 11.4

检验区间 $x > 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 11.4.1

选择区间 $x > 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 11.4.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

${(4)}^{3} + 9 {(4)}^{2} < - 6 \cdot 4 + 56$

解题步骤 11.4.3

左边的 $208$ 不小于右边的 $32$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 11.5

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 7$ 为真

$- 7 < x < - 4$ 为假

$- 4 < x < 2$ 为真

$x > 2$ 为假

$x < - 7$ 为真

$- 7 < x < - 4$ 为假

$- 4 < x < 2$ 为真

$x > 2$ 为假

解题步骤 12

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < - 7$ 或 $- 4 < x < 2$

解题步骤 13

把不等式转换成区间计数法。

$(- \infty, - 7) \cup (- 4, 2)$

解题步骤 14

初级微积分 示例

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