初级微积分示例

$(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ 之间）之间的 $\cos (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{3 π}{2}, 0)$ 和 $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{7 π}{4}$

邻边： $\frac{3 π}{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1

对 $\frac{3 π}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $3 π$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.4.1

对 $\frac{7 π}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.4.2

对 $7 π$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.5

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.6

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

解题步骤 2.7

要将 $\frac{9 π^{2}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

解题步骤 2.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 2.8.1

将 $\frac{9 π^{2}}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

解题步骤 2.8.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}}$

解题步骤 2.10

以因式分解的形式重写 $\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}$ 。

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解题步骤 2.10.1

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{\frac{36 π^{2} + 49 π^{2}}{16}}$

解题步骤 2.10.2

将 $36 π^{2}$ 和 $49 π^{2}$ 相加。

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$

解题步骤 2.11

将 $\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ 。

$\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 2.12

化简分子。

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解题步骤 2.12.1

将 $85$ 和 $π^{2}$ 重新排序。

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 85}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 2.12.2

从根式下提出各项。

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 2.13

化简分母。

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解题步骤 2.13.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{4^{2}}}$

解题步骤 2.13.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{π \sqrt{85}}{4}$

解题步骤 3

因为 $\cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，所以 $\cos (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$ 。

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$

解题步骤 4

化简 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\cos (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

解题步骤 4.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

解题步骤 4.2.2

从 $π \sqrt{85}$ 中分解出因数 $π$ 。

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π (\sqrt{85})}$

解题步骤 4.2.3

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

解题步骤 4.2.4

重写表达式。

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{85}}$

解题步骤 4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{\sqrt{85}}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$\cos (θ) = 3 (\frac{2}{\sqrt{85}})$

解题步骤 4.4

组合 $3$ 和 $\frac{2}{\sqrt{85}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

解题步骤 4.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}}$

解题步骤 4.6

将 $\frac{6}{\sqrt{85}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

解题步骤 4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 4.7.1

将 $\frac{6}{\sqrt{85}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

解题步骤 4.7.2

对 $\sqrt{85}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

解题步骤 4.7.3

对 $\sqrt{85}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

解题步骤 4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

解题步骤 4.7.6

将 ${\sqrt{85}}^{2}$ 重写为 $85$ 。

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解题步骤 4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{85}$ 重写成 $85^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.7.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

解题步骤 4.7.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

解题步骤 5

求近似值。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85} \approx 0.65079137$

初级微积分 示例

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