初级微积分示例

${(\sqrt{3} + i)}^{5}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${\sqrt{3}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{3^{5}}$ 。

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.2

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.3

将 $243$ 重写为 $9^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $243$ 中分解出因数 $81$ 。

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.4

从根式下提出各项。

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.5.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.5.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.5.4.2.2

约去公因数。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.5.4.2.3

重写表达式。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.5.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.7

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.8

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.9

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{27} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.10

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.1.10.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.10.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.11

从根式下提出各项。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.12

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.13

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.14

将 $- 1$ 乘以 $30$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.15

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.15.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.15.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.15.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.15.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.15.4.1

约去公因数。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.15.4.2

重写表达式。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.15.5

计算指数。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.16

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.17

因式分解出 $i^{2}$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.18

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.19

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.20

将 $- 1$ 乘以 $30$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

解题步骤 2.1.21

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.21.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

解题步骤 2.1.21.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}$

解题步骤 2.1.21.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}$

解题步骤 2.1.22

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{5}$

解题步骤 2.1.23

因式分解出 $i^{4}$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{4} i$

解题步骤 2.1.24

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.24.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i$

解题步骤 2.1.24.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i$

解题步骤 2.1.24.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + 1 i$

解题步骤 2.1.25

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $9 \sqrt{3}$ 中减去 $30 \sqrt{3}$ 。

$45 i - 21 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

解题步骤 2.2.2

从 $45 i$ 中减去 $30 i$ 。

$15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + i$

解题步骤 2.2.3

将 $15 i$ 和 $i$ 相加。

$16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.4

将 $- 21 \sqrt{3}$ 和 $5 \sqrt{3}$ 相加。

$16 i - 16 \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.5

将 $16 i$ 和 $- 16 \sqrt{3}$ 重新排序。

$- 16 \sqrt{3} + 16 i$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 16 \sqrt{3}$ 和 $b = 16$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{16^{2} + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 6.1.2

对 $- 16 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 6.1.3

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{256 + 256 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{256 + 256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $256$ 乘以 $3$ 。

$| z | = \sqrt{256 + 768}$

解题步骤 6.3.2

将 $256$ 和 $768$ 相加。

$| z | = \sqrt{1024}$

解题步骤 6.3.3

将 $1024$ 重写为 $32^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{32^{2}}$

解题步骤 6.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 32$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{16}{- 16 \sqrt{3}})$

解题步骤 8

因为 $\frac{16}{- 16 \sqrt{3}}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $\frac{5 π}{6}$ 。

$θ = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 9

代入 $θ = \frac{5 π}{6}$ 和 $| z | = 32$ 的值。

$32 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

初级微积分 示例

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