初级微积分示例

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})))}^{4}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

${(\sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})))}^{4}$

解题步骤 1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{7 π}{6})))}^{4}$

解题步骤 1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

${(\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \sin (\frac{π}{6}))))}^{4}$

解题步骤 1.4

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \frac{1}{2})))}^{4}$

解题步骤 1.5

组合 $i$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}))}^{4}$

解题步骤 2

运用分配律。

${(\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

解题步骤 3

乘以 $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 3.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

解题步骤 3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

解题步骤 3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

${(- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{i}{2}$ 。

${(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 4.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

${(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

${(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

${(- \frac{3^{1}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 4.2.5

计算指数。

${(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 5

使用二项式定理。

${(- \frac{3}{2})}^{4} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.3

将 $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.4

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{81}{2^{4}} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{3} i}{2}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.6.1

将 $- \frac{\sqrt{3} i}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{81}{16} + 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} \frac{- \sqrt{3} i}{2} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.6.2

从 $4 {(- \frac{3}{2})}^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + 2 (2 {(- \frac{3}{2})}^{3}) \frac{- \sqrt{3} i}{2} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.6.3

约去公因数。

解题步骤 6.1.6.4

重写表达式。

$\frac{81}{16} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} (- \sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81}{16} - 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.8

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.1.8.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.8.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} - 2 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.9

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{16} - 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{16} - 2 (- \frac{27}{2^{3}}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.11

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{16} - 2 (- \frac{27}{8}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.12

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.12.1

将 $- \frac{27}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{81}{16} - 2 (\frac{- 27}{8}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.12.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + 2 (- 1) \frac{- 27}{8} (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.12.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{- 27}{2 \cdot 4} (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.12.4

约去公因数。

解题步骤 6.1.12.5

重写表达式。

$\frac{81}{16} - 1 (\frac{- 27}{4}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.13

将负号移到分数的前面。

$\frac{81}{16} - 1 (- \frac{27}{4}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.14

乘以 $- 1 (- \frac{27}{4})$ 。

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解题步骤 6.1.14.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{81}{16} + 1 (\frac{27}{4}) (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.14.2

将 $\frac{27}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27}{4} (\sqrt{3} i) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.15

乘以 $\frac{27}{4} (\sqrt{3} i)$ 。

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解题步骤 6.1.15.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{27}{4}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 27}{4} i + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.15.2

组合 $\frac{\sqrt{3} \cdot 27}{4}$ 和 $i$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{\sqrt{3} \cdot 27 i}{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.16

将 $27$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.17

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.1.17.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.17.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.18

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.19

将 $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{3^{2}}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.20

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{9}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.21

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 6 (\frac{9}{4}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.22

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.22.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 2 (3) \frac{9}{4} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.22.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 2 \cdot 3 \frac{9}{2 \cdot 2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.22.3

约去公因数。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 2 \cdot 3 \frac{9}{2 \cdot 2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.22.4

重写表达式。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + 3 (\frac{9}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.23

组合 $3$ 和 $\frac{9}{2}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3 \cdot 9}{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.24

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.25

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.1.25.1

对 $- \frac{\sqrt{3} i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2}) + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.25.2

对 $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} ({(- 1)}^{2} \frac{{(\sqrt{3} i)}^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.25.3

对 $\sqrt{3} i$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.26

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.27

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.28

合并。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.29

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.29.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.29.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.29.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.29.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.30

化简分子。

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解题步骤 6.1.30.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.1.30.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.30.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.30.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.30.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.30.1.4.1

约去公因数。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.30.1.4.2

重写表达式。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3^{1} i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.30.1.5

计算指数。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3 i^{2}}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.30.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{27 \cdot 3 \cdot - 1}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.30.3

合并指数。

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解题步骤 6.1.30.3.1

将 $27$ 乘以 $3$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{81 \cdot - 1}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.30.3.2

将 $81$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{2^{3}} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.31

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.32

将负号移到分数的前面。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 4 (- \frac{3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.33

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.33.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 4 (\frac{- 3}{2}) {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.33.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 (2) \frac{- 3}{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.33.3

约去公因数。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot 2 \frac{- 3}{2} {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.33.4

重写表达式。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot - 3 {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.34

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.35

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.1.35.1

对 $- \frac{\sqrt{3} i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.35.2

对 $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 ({(- 1)}^{3} \frac{{(\sqrt{3} i)}^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.35.3

对 $\sqrt{3} i$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.36

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.37

化简分子。

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解题步骤 6.1.37.1

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{\sqrt{3^{3}} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.37.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{\sqrt{27} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.37.3

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.1.37.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{\sqrt{9 (3)} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.37.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.37.4

从根式下提出各项。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{3 \sqrt{3} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.37.5

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.37.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.37.7

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1 i}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.37.8

合并指数。

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解题步骤 6.1.37.8.1

提取负因数。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{- (3 \sqrt{3} i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.37.8.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{- 3 (\sqrt{3} i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.38

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 (- \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8}) + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.39

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.39.1

将 $- \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 6 \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.39.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 (- 3) \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.39.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot - 3 \frac{3 \sqrt{3} i}{2 \cdot 4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.39.4

约去公因数。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + 2 \cdot - 3 \frac{3 \sqrt{3} i}{2 \cdot 4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.39.5

重写表达式。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - 3 \frac{3 \sqrt{3} i}{4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.40

组合 $- 3$ 和 $\frac{3 \sqrt{3} i}{4}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + \frac{- 3 (3 \sqrt{3} i)}{4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.41

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} + \frac{- 9 (\sqrt{3} i)}{4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.42

将负号移到分数的前面。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{(9) \sqrt{3} i}{4} + {(- \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.43

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.1.43.1

对 $- \frac{\sqrt{3} i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{4}$

解题步骤 6.1.43.2

对 $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + {(- 1)}^{4} \frac{{(\sqrt{3} i)}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.43.3

对 $\sqrt{3} i$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + {(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt{3}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.44

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + 1 \frac{{\sqrt{3}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.45

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46

化简分子。

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解题步骤 6.1.46.1

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.46.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{4}{2}} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.46.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.46.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{\frac{2}{1}} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3^{2} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.3

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 6.1.46.3.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 {(i^{2})}^{2}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.3.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 {(- 1)}^{2}}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.46.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 \cdot 1}{2^{4}}$

解题步骤 6.1.47

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 \cdot 1}{16}$

解题步骤 6.1.48

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i}{4} - \frac{81}{8} - \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9}{16}$

解题步骤 6.2

化简项。

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解题步骤 6.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{81 + 9}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i - 9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.2.2

将 $81$ 和 $9$ 相加。

$\frac{90}{16} + \frac{27 \sqrt{3} i - 9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.2.3

从 $27 \sqrt{3} i$ 中减去 $9 \sqrt{3} i$ 。

$\frac{90}{16} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1

约去 $90$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1

从 $90$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (45)}{16} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.1.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 8} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 8} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{45}{8} + \frac{18 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.3.2

约去 $18$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $18 \sqrt{3} i$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{45}{8} + \frac{2 (9 \sqrt{3} i)}{4} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{45}{8} + \frac{2 (9 \sqrt{3} i)}{2 (2)} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{45}{8} + \frac{2 (9 \sqrt{3} i)}{2 \cdot 2} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{45}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- 81}{8}$

解题步骤 6.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{45}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2} - \frac{81}{8}$

解题步骤 6.4

合并分数。

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解题步骤 6.4.1

在公分母上合并分子。

$\frac{45 - 81}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 6.4.2

从 $45$ 中减去 $81$ 。

$\frac{- 36}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 6.5

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1

约去 $- 36$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 9)}{8} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 6.5.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 6.5.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 9}{4 \cdot 2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 6.5.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 9}{2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 6.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{9}{2} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 7

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 8

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 9

代入 $a = - \frac{9}{2}$ 和 $b = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(\frac{9 \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10

求 $| z |$ 。

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解题步骤 10.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 10.1.1

对 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{{(9 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.1.2

对 $9 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{9^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简分子。

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解题步骤 10.2.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{81 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 10.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{81 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{2^{2}} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.3

化简表达式。

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解题步骤 10.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{4} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.3.2

将 $81$ 乘以 $3$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 10.4.1

对 $- \frac{9}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4.2

对 $\frac{9}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 10.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + 1 (\frac{9^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 10.6

将 $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + \frac{9^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 10.7

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + \frac{81}{2^{2}}}$

解题步骤 10.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{243}{4} + \frac{81}{4}}$

解题步骤 10.9

在公分母上合并分子。

$| z | = \sqrt{\frac{243 + 81}{4}}$

解题步骤 10.10

将 $243$ 和 $81$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{324}{4}}$

解题步骤 10.11

用 $324$ 除以 $4$ 。

$| z | = \sqrt{81}$

解题步骤 10.12

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{9^{2}}$

解题步骤 10.13

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 9$

解题步骤 11

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{\frac{9 \sqrt{3}}{2}}{- \frac{9}{2}})$

解题步骤 12

因为 $\frac{\frac{9 \sqrt{3}}{2}}{- \frac{9}{2}}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 13

代入 $θ = \frac{2 π}{3}$ 和 $| z | = 9$ 的值。

$9 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

初级微积分 示例

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