初级微积分示例

${(\sqrt{2} - i)}^{6}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

${\sqrt{2}}^{6} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{6}$ 重写为 $2^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{6} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$2^{\frac{6}{2}} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$2^{\frac{3}{1}} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$2^{3} + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 + 6 {\sqrt{2}}^{5} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{2^{5}}$ 。

$8 + 6 \sqrt{2^{5}} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$8 + 6 \sqrt{32} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.5

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$8 + 6 \sqrt{16 (2)} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.5.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$8 + 6 \sqrt{4^{2} \cdot 2} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.6

从根式下提出各项。

$8 + 6 (4 \sqrt{2}) (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.7

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$8 + 24 \sqrt{2} (- i) + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 {\sqrt{2}}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.9

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 重写为 $2^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{4}{2}} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.9.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.9.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.9.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.9.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.9.4.2.2

约去公因数。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.9.4.2.3

重写表达式。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2}{1}} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.9.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{2} {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.10

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 15 \cdot 4 {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.11

将 $15$ 乘以 $4$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 60 {(- i)}^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.12

对 $- i$ 运用乘积法则。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 60 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.13

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 60 (1 i^{2}) + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.14

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 60 i^{2} + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.15

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i + 60 \cdot - 1 + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.16

将 $60$ 乘以 $- 1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 {\sqrt{2}}^{3} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.17

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 \sqrt{2^{3}} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.18

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 \sqrt{8} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.19

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.1.19.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 \sqrt{4 (2)} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.19.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 \sqrt{2^{2} \cdot 2} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.20

从根式下提出各项。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 20 (2 \sqrt{2}) {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.21

将 $2$ 乘以 $20$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} {(- i)}^{3} + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.22

对 $- i$ 运用乘积法则。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.23

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} (- i^{3}) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.24

因式分解出 $i^{2}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} (- (i^{2} \cdot i)) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.25

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} (- (- 1 \cdot i)) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.26

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} (- - i) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.27

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} (1 i) + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.28

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 {\sqrt{2}}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.29

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.1.29.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.29.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.29.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.29.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.29.4.1

约去公因数。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.29.4.2

重写表达式。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2^{1} {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.29.5

计算指数。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 15 \cdot 2 {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.30

将 $15$ 乘以 $2$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 {(- i)}^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.31

对 $- i$ 运用乘积法则。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.32

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 (1 i^{4}) + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.33

将 $i^{4}$ 乘以 $1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 i^{4} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.34

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.34.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 {(i^{2})}^{2} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.34.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 {(- 1)}^{2} + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.34.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 \cdot 1 + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.35

将 $30$ 乘以 $1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.36

对 $- i$ 运用乘积法则。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} ({(- 1)}^{5} i^{5}) + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.37

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- i^{5}) + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.38

因式分解出 $i^{4}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- (i^{4} i)) + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.39

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.39.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.39.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- ({(- 1)}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.39.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- (1 i)) + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.40

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 + 6 \sqrt{2} (- i) + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.41

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + {(- i)}^{6}$

解题步骤 2.1.42

对 $- i$ 运用乘积法则。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + {(- 1)}^{6} i^{6}$

解题步骤 2.1.43

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + 1 i^{6}$

解题步骤 2.1.44

将 $i^{6}$ 乘以 $1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + i^{6}$

解题步骤 2.1.45

因式分解出 $i^{4}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + i^{4} i^{2}$

解题步骤 2.1.46

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.46.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

解题步骤 2.1.46.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

解题步骤 2.1.46.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + 1 i^{2}$

解题步骤 2.1.47

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i + i^{2}$

解题步骤 2.1.48

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$8 - 24 \sqrt{2} i - 60 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i - 1$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $8$ 中减去 $60$ 。

$- 24 \sqrt{2} i - 52 + 40 \sqrt{2} i + 30 - 6 \sqrt{2} i - 1$

解题步骤 2.2.2

将 $- 24 \sqrt{2} i$ 和 $40 \sqrt{2} i$ 相加。

$16 \sqrt{2} i - 52 + 30 - 6 \sqrt{2} i - 1$

解题步骤 2.2.3

从 $16 \sqrt{2} i$ 中减去 $6 \sqrt{2} i$ 。

$10 \sqrt{2} i - 52 + 30 - 1$

解题步骤 2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $- 52$ 和 $30$ 相加。

$10 \sqrt{2} i - 22 - 1$

解题步骤 2.2.4.2

从 $- 22$ 中减去 $1$ 。

$10 \sqrt{2} i - 23$

解题步骤 2.2.4.3

将 $10 \sqrt{2} i$ 和 $- 23$ 重新排序。

$- 23 + 10 \sqrt{2} i$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 23$ 和 $b = 10 \sqrt{2}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(10 \sqrt{2})}^{2} + {(- 23)}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

对 $10 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{10^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 23)}^{2}}$

解题步骤 6.1.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{100 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 23)}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 23)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 23)}^{2}}$

解题步骤 6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{100 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 23)}^{2}}$

解题步骤 6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{100 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 23)}^{2}}$

解题步骤 6.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{100 \cdot 2 + {(- 23)}^{2}}$

解题步骤 6.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{100 \cdot 2 + {(- 23)}^{2}}$

解题步骤 6.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.1

将 $100$ 乘以 $2$ 。

$| z | = \sqrt{200 + {(- 23)}^{2}}$

解题步骤 6.3.2

对 $- 23$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{200 + 529}$

解题步骤 6.3.3

将 $200$ 和 $529$ 相加。

$| z | = \sqrt{729}$

解题步骤 6.3.4

将 $729$ 重写为 $27^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{27^{2}}$

解题步骤 6.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 27$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{10 \sqrt{2}}{- 23})$

解题步骤 8

因为 $\frac{10 \sqrt{2}}{- 23}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $2.59030705$ 。

$θ = 2.59030705$

解题步骤 9

代入 $θ = 2.59030705$ 和 $| z | = 27$ 的值。

$27 (\cos (2.59030705) + i \sin (2.59030705))$

初级微积分 示例

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