初级微积分示例

$\cos (45 °)$

解题步骤 1

$\cos (45 °)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5

求 $| z |$ 。

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解题步骤 5.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 5.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 5.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

解题步骤 5.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2.2

约去公因数。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.2.3

重写表达式。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 和 $\frac{1}{2}$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 5.6

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.7

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.8

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 5.9

合并和化简分母。

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解题步骤 5.9.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.9.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.9.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 5.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.9.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.6.4.1

约去公因数。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.9.6.4.2

重写表达式。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.9.6.5

计算指数。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

解题步骤 7

因为 $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ 的反正切得出位于第一象限的一个角，所以其角度为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 8

代入 $θ = 0$ 和 $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的值。

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$

初级微积分 示例

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