初级微积分示例

${(3 (\cos (27 °) + i \sin (27 °)))}^{5}$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

计算 $\cos (27 °)$ 。

${(3 (0.89100652 + i \sin (27 °)))}^{5}$

解题步骤 1.1.2

计算 $\sin (27 °)$ 。

${(3 (0.89100652 + i \cdot 0.45399049))}^{5}$

解题步骤 1.1.3

将 $0.45399049$ 移到 $i$ 的左侧。

${(3 (0.89100652 + 0.45399049 i))}^{5}$

解题步骤 1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

${(3 \cdot 0.89100652 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

解题步骤 1.2.2

乘。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $3$ 乘以 $0.89100652$ 。

${(2.67301957 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

解题步骤 1.2.2.2

将 $0.45399049$ 乘以 $3$ 。

${(2.67301957 + 1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 2

使用二项式定理。

${2.67301957}^{5} + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

对 $2.67301957$ 进行 $5$ 次方运算。

$136.46167381 + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.2

对 $2.67301957$ 进行 $4$ 次方运算。

$136.46167381 + 5 \cdot 51.05150564 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.3

将 $5$ 乘以 $51.05150564$ 。

$136.46167381 + 255.25752824 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.4

将 $1.36197149$ 乘以 $255.25752824$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.5

对 $2.67301957$ 进行 $3$ 次方运算。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot 19.09881475 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.6

将 $10$ 乘以 $19.09881475$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.7

对 $1.36197149 i$ 运用乘积法则。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 ({1.36197149}^{2} i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.8

对 $1.36197149$ 进行 $2$ 次方运算。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.9

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.10

乘以 $190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 3.1.10.1

将 $1.85496636$ 乘以 $- 1$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 \cdot - 1.85496636 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.10.2

将 $190.98814753$ 乘以 $- 1.85496636$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.11

对 $2.67301957$ 进行 $2$ 次方运算。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot 7.14503363 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.12

将 $10$ 乘以 $7.14503363$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.13

对 $1.36197149 i$ 运用乘积法则。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 ({1.36197149}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.14

对 $1.36197149$ 进行 $3$ 次方运算。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.15

因式分解出 $i^{2}$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.17

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.18

将 $- 1$ 乘以 $2.52641132$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (- 2.52641132 i) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.19

将 $- 2.52641132$ 乘以 $71.45033635$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.20

将 $5$ 乘以 $2.67301957$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.21

对 $1.36197149 i$ 运用乘积法则。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 ({1.36197149}^{4} i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.22

对 $1.36197149$ 进行 $4$ 次方运算。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.23

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 3.1.23.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(i^{2})}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.23.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(- 1)}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.23.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 \cdot 1) + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.24

乘以 $13.36509786 (3.44090021 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 3.1.24.1

将 $3.44090021$ 乘以 $1$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 \cdot 3.44090021 + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.24.2

将 $13.36509786$ 乘以 $3.44090021$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {(1.36197149 i)}^{5}$

解题步骤 3.1.25

对 $1.36197149 i$ 运用乘积法则。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {1.36197149}^{5} i^{5}$

解题步骤 3.1.26

对 $1.36197149$ 进行 $5$ 次方运算。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i^{5}$

解题步骤 3.1.27

因式分解出 $i^{4}$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (i^{4} i)$

解题步骤 3.1.28

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 3.1.28.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(i^{2})}^{2} i)$

解题步骤 3.1.28.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(- 1)}^{2} i)$

解题步骤 3.1.28.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (1 i)$

解题步骤 3.1.29

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

解题步骤 3.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $136.46167381$ 中减去 $354.27658973$ 。

$- 217.81491592 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

解题步骤 3.2.2

将 $- 217.81491592$ 和 $45.98796809$ 相加。

$- 171.82694782 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 4.68640802 i$

解题步骤 3.2.3

从 $347.65347843 i$ 中减去 $180.51293863 i$ 。

$- 171.82694782 + 167.1405398 i + 4.68640802 i$

解题步骤 3.2.4

将 $167.1405398 i$ 和 $4.68640802 i$ 相加。

$- 171.82694782 + 171.82694782 i$

解题步骤 4

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 5

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 6

代入 $a = - 171.82694782$ 和 $b = 171.82694782$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{171.82694782}^{2} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

解题步骤 7

求 $| z |$ 。

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解题步骤 7.1

对 $171.82694782$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

解题步骤 7.2

对 $- 171.82694782$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + 29524.4\overline{9}}$

解题步骤 7.3

将 $29524.4\overline{9}$ 和 $29524.4\overline{9}$ 相加。

$| z | = \sqrt{59048.\overline{9}}$

解题步骤 8

计算根。

$| z | = 242.\overline{9}$

解题步骤 9

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{171.82694782}{- 171.82694782})$

解题步骤 10

$\frac{171.82694782}{- 171.82694782}$ 的反正切为 $- 0.78539816$ 。

$θ = - 0.78539816$

解题步骤 11

代入 $θ = - 0.78539816$ 和 $| z | = 242.\overline{9}$ 的值。

$242.\overline{9} (\cos (- 0.78539816) + i \sin (- 0.78539816))$

初级微积分 示例

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