初级微积分示例

$(\frac{3}{5} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

解题步骤 1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

解题步骤 1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

解题步骤 2

运用分配律。

$(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

解题步骤 3

乘以 $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{3}{5}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

解题步骤 3.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{3}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

解题步骤 4

乘以 $\frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{3}{5}$ 乘以 $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ 。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{5 \cdot 2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

解题步骤 4.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{10}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

计算 $\cos (\frac{3 π}{5})$ 。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

解题步骤 5.1.2

计算 $\sin (\frac{3 π}{5})$ 。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651))$

解题步骤 5.1.3

将 $0.95105651$ 移到 $i$ 的左侧。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + 0.95105651 i))$

解题步骤 5.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 \cdot - 0.30901699 + 5 (0.95105651 i))$

解题步骤 5.2.2

乘。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $5$ 乘以 $- 0.30901699$ 。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 5 (0.95105651 i))$

解题步骤 5.2.2.2

将 $0.95105651$ 乘以 $5$ 。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

解题步骤 6

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{3}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

乘以 $\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

组合 $\frac{3}{10}$ 和 $- 1.54508497$ 。

$\frac{3 \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1.54508497$ 。

$\frac{- 4.63525491}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.2

用 $- 4.63525491$ 除以 $10$ 。

$- 0.46352549 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.3

乘以 $\frac{3}{10} (4.75528258 i)$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

组合 $4.75528258$ 和 $\frac{3}{10}$ 。

$- 0.46352549 + \frac{4.75528258 \cdot 3}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.3.2

将 $4.75528258$ 乘以 $3$ 。

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.3.3

组合 $\frac{14.26584774}{10}$ 和 $i$ 。

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.4

从 $14.26584774 i$ 中分解出因数 $14.26584774$ 。

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.5

从 $10$ 中分解出因数 $10$ 。

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.6

分离分数。

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} \cdot \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.7

用 $14.26584774$ 除以 $10$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.8

用 $i$ 除以 $1$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.9

乘以 $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497$ 。

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解题步骤 7.1.9.1

组合 $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ 和 $- 1.54508497$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.9.2

将 $- 1.54508497$ 乘以 $3$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 4.63525491 i \sqrt{3}}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.9.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $- 4.63525491$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 8.02849701 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.10

将负号移到分数的前面。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{(8.02849701) i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.11

从 $8.02849701 i$ 中分解出因数 $8.02849701$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.12

从 $10$ 中分解出因数 $10$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.13

分离分数。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (\frac{8.02849701}{10} \cdot \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.14

用 $8.02849701$ 除以 $10$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.15

用 $i$ 除以 $1$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.16

将 $0.8028497$ 乘以 $- 1$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

解题步骤 7.1.17

乘以 $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$ 。

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解题步骤 7.1.17.1

组合 $4.75528258$ 和 $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{4.75528258 (3 i \sqrt{3})}{10} i$

解题步骤 7.1.17.2

将 $3$ 乘以 $4.75528258$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{14.26584774 (i \sqrt{3})}{10} i$

解题步骤 7.1.17.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $14.26584774$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i}{10} i$

解题步骤 7.1.17.4

组合 $\frac{24.7091731 i}{10}$ 和 $i$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i i}{10}$

解题步骤 7.1.17.5

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i)}{10}$

解题步骤 7.1.17.6

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i^{1})}{10}$

解题步骤 7.1.17.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{1 + 1}}{10}$

解题步骤 7.1.17.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{2}}{10}$

解题步骤 7.1.18

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 \cdot - 1}{10}$

解题步骤 7.1.19

将 $24.7091731$ 乘以 $- 1$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{- 24.7091731}{10}$

解题步骤 7.1.20

用 $- 24.7091731$ 除以 $10$ 。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i - 2.47091731$

解题步骤 7.2

从 $- 0.46352549$ 中减去 $2.47091731$ 。

$- 2.9344428 + 1.42658477 i - 0.8028497 i$

解题步骤 7.3

从 $1.42658477 i$ 中减去 $0.8028497 i$ 。

$- 2.9344428 + 0.62373507 i$

解题步骤 8

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 9

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 10

代入 $a = - 2.9344428$ 和 $b = 0.62373507$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{0.62373507}^{2} + {(- 2.9344428)}^{2}}$

解题步骤 11

求 $| z |$ 。

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解题步骤 11.1

对 $0.62373507$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0.38904544 + {(- 2.9344428)}^{2}}$

解题步骤 11.2

对 $- 2.9344428$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0.38904544 + 8.61095455}$

解题步骤 11.3

将 $0.38904544$ 和 $8.61095455$ 相加。

$| z | = \sqrt{9}$

解题步骤 11.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 11.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 3$

解题步骤 12

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0.62373507}{- 2.9344428})$

解题步骤 13

因为 $\frac{0.62373507}{- 2.9344428}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $2.93215314$ 。

$θ = 2.93215314$

解题步骤 14

代入 $θ = 2.93215314$ 和 $| z | = 3$ 的值。

$3 (\cos (2.93215314) + i \sin (2.93215314))$

初级微积分 示例

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