初级微积分示例

${(- 2 - 2 i)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.2

通过指数相加将 ${(- 2)}^{3}$ 乘以 $- 2$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

移动 $- 2$ 。

$16 + 4 (- 2 {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 ${(- 2)}^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$16 + 4 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$16 + 4 {(- 2)}^{1 + 3} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$16 + 4 {(- 2)}^{4} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.3

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 + 4 \cdot 16 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.4

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$16 + 64 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.5

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 + 64 i + 6 \cdot 4 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.6

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$16 + 64 i + 24 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.7

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$16 + 64 i + 24 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.8

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 + 64 i + 24 (4 i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.9

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16 + 64 i + 24 (4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.10

乘以 $24 (4 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.10.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$16 + 64 i + 24 \cdot - 4 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.10.2

将 $24$ 乘以 $- 4$ 。

$16 + 64 i - 96 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.11

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$16 + 64 i - 96 - 8 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.12

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$16 + 64 i - 96 - 8 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.13

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.14

因式分解出 $i^{2}$ 。

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.15

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- 1 \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.16

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- i)) + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.17

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$16 + 64 i - 96 - 8 (8 i) + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.18

将 $8$ 乘以 $- 8$ 。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2 i)}^{4}$

解题步骤 2.1.19

对 $- 2 i$ 运用乘积法则。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2)}^{4} i^{4}$

解题步骤 2.1.20

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 i^{4}$

解题步骤 2.1.21

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.21.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.21.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.21.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 \cdot 1$

解题步骤 2.1.22

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $16$ 中减去 $96$ 。

$- 80 + 64 i - 64 i + 16$

解题步骤 2.2.2

将 $- 80$ 和 $16$ 相加。

$- 64 + 64 i - 64 i$

解题步骤 2.2.3

从 $64 i$ 中减去 $64 i$ 。

$- 64 + 0$

解题步骤 2.2.4

将 $- 64$ 和 $0$ 相加。

$- 64$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 64$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $- 64$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $4096$ 相加。

$| z | = \sqrt{4096}$

解题步骤 6.4

将 $4096$ 重写为 $64^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

解题步骤 6.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 64$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

解题步骤 8

因为 $\frac{0}{- 64}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $π$ 。

$θ = π$

解题步骤 9

代入 $θ = π$ 和 $| z | = 64$ 的值。

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$

初级微积分 示例

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