初级微积分示例

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 1

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 2

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 3

代入 $a = \frac{2 π}{3}$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

解题步骤 4

求 $| z |$ 。

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解题步骤 4.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.1

对 $\frac{2 π}{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 4.2.2

对 $2 π$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 4.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 4.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

解题步骤 4.5

将 $0$ 和 $\frac{4 π^{2}}{9}$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$

解题步骤 4.6

将 $\sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $4 π^{2}$ 重写为 ${(2 π)}^{2}$ 。

$| z | = \frac{\sqrt{{(2 π)}^{2}}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 4.7.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{9}}$

解题步骤 4.8

化简分母。

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解题步骤 4.8.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 4.8.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$

解题步骤 6

代入 $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$ 和 $| z | = \frac{2 π}{3}$ 的值。

$\frac{2 π}{3 (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})))}$

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