初级微积分示例

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

解题步骤 1

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

解题步骤 2

对 $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ 的分子和分母乘以 $10 i$ 的共轭以使分母变为实数。

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

解题步骤 3

乘。

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解题步骤 3.1

合并。

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.1.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.1.7

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.1.8

将 $i$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.4

运用分配律。

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.2.6

将 $0$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(10 i) (1 + 0 i)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

运用分配律。

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.3.1.2

运用分配律。

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

解题步骤 3.3.1.3

运用分配律。

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

解题步骤 3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

解题步骤 3.3.2.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

解题步骤 3.3.2.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

解题步骤 3.3.2.5

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

解题步骤 3.3.2.6

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

解题步骤 3.3.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

解题步骤 3.3.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

解题步骤 3.3.2.9

将 $0$ 乘以 $i^{2}$ 。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

解题步骤 3.3.2.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

解题步骤 3.3.2.11

从 $0 i$ 中减去 $0 i$ 。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 乘以 $i$ 。

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

解题步骤 3.3.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 20 i}{1}$

解题步骤 4

用 $- 20 i$ 除以 $1$ 。

$- 20 i$

解题步骤 5

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 6

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 7

代入 $a = - 2$ 和 $b = 0$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 8

求 $| z |$ 。

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解题步骤 8.1

对 $0$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 8.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

解题步骤 8.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$| z | = \sqrt{4}$

解题步骤 8.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 8.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 2$

解题步骤 9

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

解题步骤 10

因为 $\frac{0}{- 2}$ 的反正切得到一个在第三象限中的角，所以该角度值为 $3.14159265$ 。

$θ = 3.14159265$

解题步骤 11

代入 $θ = 3.14159265$ 和 $| z | = 2$ 的值。

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$

初级微积分 示例

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