初级微积分示例

$\frac{\csc (x)}{\cot (x)} = \sqrt{2}$

解题步骤 1

使用余切的定义求单位元直角三角形的已知边。象限将确定每一个值得符号。

$\cot (x) = \frac{相邻}{对边}$

解题步骤 2

求单位圆三角形的斜边。由于已知相对边和相邻边，所以可以使用勾股定理求第三条边。

$斜边 = \sqrt{{对边}^{2} + {相邻}^{2}}$

解题步骤 3

替换方程中的已知值。

$斜边 = \sqrt{{(1)}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 4

化简根式内部。

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解题步骤 4.1

一的任意次幂都为一。

斜边 $= \sqrt{1 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

斜边 $= \sqrt{1 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

斜边 $= \sqrt{1 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

斜边 $= \sqrt{1 + 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

斜边 $= \sqrt{1 + 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.2

重写表达式。

斜边 $= \sqrt{1 + 2}$

解题步骤 4.2.5

计算指数。

斜边 $= \sqrt{1 + 2}$

解题步骤 4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

斜边 $= \sqrt{3}$

解题步骤 5

求正弦值。

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解题步骤 5.1

使用正弦的定义求 $\sin (x)$ 的值。

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 5.2

代入已知值。

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.3

化简 $\sin (x)$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.3.2.6.5

计算指数。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6

求余弦值。

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解题步骤 6.1

使用余弦的定义求 $\cos (x)$ 的值。

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 6.3

化简 $\cos (x)$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 6.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.3.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.3.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6.3.2.6.5

计算指数。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6.3.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.3.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 6.3.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

解题步骤 7

求正切值。

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解题步骤 7.1

使用正切的定义求 $\tan (x)$ 的值。

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.3

化简 $\tan (x)$ 的值。

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解题步骤 7.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.3.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.3.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.3.2.6.5

计算指数。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

求正割值。

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解题步骤 8.1

使用正割的定义求 $\sec (x)$ 的值。

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.3

化简 $\sec (x)$ 的值。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.2

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.2.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.2.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.3.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.6.4.1

约去公因数。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.2.6.4.2

重写表达式。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.3.2.6.5

计算指数。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.3.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.3.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

解题步骤 8.3.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 9

求余割值。

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解题步骤 9.1

使用余割的定义求 $\csc (x)$ 的值。

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\csc (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

解题步骤 9.3

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\csc (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 10

这是各个三角函数值的解。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cot (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\csc (x) = \sqrt{3}$

初级微积分 示例

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