初级微积分示例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$- 4 x^{3} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- 4 x^{3} - 20 x$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 20 x$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $- 4 x (x^{2}) - 4 x (5)$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x (x^{2} + 5) + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 4 x (x^{2} + 5) + {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 75 = 0$

解题步骤 2.1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 4 x (x^{2} + 5) + u^{2} - 10 u - 75 = 0$

解题步骤 2.1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} - 10 u - 75$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 75$ ，和为 $- 10$ 。

$- 15, 5$

解题步骤 2.1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 4 x (x^{2} + 5) + (u - 15) (u + 5) = 0$

解题步骤 2.1.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 2.1.7

从 $- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $x^{2} + 5$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

从 $- 4 x (x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $x^{2} + 5$ 。

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

从 $(x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $x^{2} + 5$ 。

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15) = 0$

解题步骤 2.1.7.3

从 $(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15)$ 中分解出因数 $x^{2} + 5$ 。

$(x^{2} + 5) (- 4 x + x^{2} - 15) = 0$

解题步骤 2.1.8

重新排序项。

$(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 5 = 0$

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 5 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 5 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x^{2} = - 5$

解题步骤 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

解题步骤 2.3.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 5}$ 。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (5)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{5}$

解题步骤 2.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 4 x - 15$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 4 x - 15$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 4 x - 15 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = - 15$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 15$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

将 $16$ 和 $60$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{19}$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

解题步骤 2.5

最终解为使 $(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$ 成立的所有值。

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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