初级微积分示例

$f (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 50 x^{2} + 122 x + 65$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 6 x^{3} + 50 x^{2} + 122 x + 65$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 6 x^{3} + 50 x^{2} + 122 x + 65 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{4} - 6 x^{3} + 50 x^{2} + 122 x + 65$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

解题步骤 2.1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{3} + 50 {(- 1)}^{2} + 122 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 - 6 {(- 1)}^{3} + 50 {(- 1)}^{2} + 122 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 6 \cdot - 1 + 50 {(- 1)}^{2} + 122 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.1.3.4

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 6 + 50 {(- 1)}^{2} + 122 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$7 + 50 {(- 1)}^{2} + 122 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.1.3.6

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$7 + 50 \cdot 1 + 122 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.1.3.7

将 $50$ 乘以 $1$ 。

$7 + 50 + 122 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.1.3.8

将 $7$ 和 $50$ 相加。

$57 + 122 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.1.3.9

将 $122$ 乘以 $- 1$ 。

$57 - 122 + 65$

解题步骤 2.1.1.3.10

从 $57$ 中减去 $122$ 。

$- 65 + 65$

解题步骤 2.1.1.3.11

将 $- 65$ 和 $65$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} + 50 x^{2} + 122 x + 65}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.5

用 $x^{4} - 6 x^{3} + 50 x^{2} + 122 x + 65$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

解题步骤 2.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

解题步骤 2.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} + x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 7 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 7 x^{3} - 7 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

$122 x$

解题步骤 2.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $57 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

$122 x$

解题步骤 2.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

$122 x$

$57 x^{2}$

$57 x$

解题步骤 2.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $57 x^{2} + 57 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

$122 x$

$57 x^{2}$

$57 x$

解题步骤 2.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

$122 x$

$57 x^{2}$

$57 x$

$65 x$

解题步骤 2.1.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

$122 x$

$57 x^{2}$

$57 x$

$65 x$

$65$

解题步骤 2.1.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $65 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x$

$65$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

$122 x$

$57 x^{2}$

$57 x$

$65 x$

$65$

解题步骤 2.1.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x$

$65$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

$122 x$

$57 x^{2}$

$57 x$

$65 x$

$65$

$65 x$

$65$

解题步骤 2.1.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $65 x + 65$ 中的所有符号

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x$

$65$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

$122 x$

$57 x^{2}$

$57 x$

$65 x$

$65$

$65 x$

$65$

解题步骤 2.1.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x$

$65$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$50 x^{2}$

$122 x$

$65$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$50 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x^{2}$

$122 x$

$57 x^{2}$

$57 x$

$65 x$

$65$

$65 x$

$65$

$0$

解题步骤 2.1.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} - 7 x^{2} + 57 x + 65$

解题步骤 2.1.1.6

将 $x^{4} - 6 x^{3} + 50 x^{2} + 122 x + 65$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) (x^{3} - 7 x^{2} + 57 x + 65) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 7 x^{2} + 57 x + 65$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 7 x^{2} + 57 x + 65$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

解题步骤 2.1.2.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - 7 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 - 7 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.2.1.3.4

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - 7 + 57 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.2.1.3.5

从 $- 1$ 中减去 $7$ 。

$- 8 + 57 \cdot - 1 + 65$

解题步骤 2.1.2.1.3.6

将 $57$ 乘以 $- 1$ 。

$- 8 - 57 + 65$

解题步骤 2.1.2.1.3.7

从 $- 8$ 中减去 $57$ 。

$- 65 + 65$

解题步骤 2.1.2.1.3.8

将 $- 65$ 和 $65$ 相加。

$0$

解题步骤 2.1.2.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 57 x + 65}{x + 1}$

解题步骤 2.1.2.1.5

用 $x^{3} - 7 x^{2} + 57 x + 65$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$57 x$

$65$

解题步骤 2.1.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$

解题步骤 2.1.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$57 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 8 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$57 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 x^{2} - 8 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$65 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$65 x$	+	$65$

解题步骤 2.1.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $65 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$65$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$65 x$	+	$65$

解题步骤 2.1.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$65$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$65 x$	+	$65$
							+	$65 x$	+	$65$

解题步骤 2.1.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $65 x + 65$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$65$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$65 x$	+	$65$
							-	$65 x$	-	$65$

解题步骤 2.1.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$65$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$57 x$	+	$65$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$65 x$	+	$65$
							-	$65 x$	-	$65$
										$0$

解题步骤 2.1.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 8 x + 65$

解题步骤 2.1.2.1.6

将 $x^{3} - 7 x^{2} + 57 x + 65$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) ((x + 1) (x^{2} - 8 x + 65)) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x + 1) (x^{2} - 8 x + 65) = 0$

解题步骤 2.1.3

合并同类因式。

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解题步骤 2.1.3.1

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 1) (x + 1) (x^{2} - 8 x + 65) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 1) (x + 1) (x^{2} - 8 x + 65) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x + 1)}^{1 + 1} (x^{2} - 8 x + 65) = 0$

解题步骤 2.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x + 1)}^{2} (x^{2} - 8 x + 65) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x^{2} - 8 x + 65 = 0$

解题步骤 2.3

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 8 x + 65$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 8 x + 65$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 8 x + 65 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 8 x + 65 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 8$ 和 $c = 65$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 65)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 65$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $65$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 260}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

从 $64$ 中减去 $260$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $- 196$ 重写为 $- 1 (196)$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (196)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.7

将 $196$ 重写为 $14^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.9

将 $14$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{8 \pm 14 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm 14 i}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{8 \pm 14 i}{2}$ 。

$x = 4 \pm 7 i$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = 4 + 7 i, 4 - 7 i$

解题步骤 2.5

最终解为使 ${(x + 1)}^{2} (x^{2} - 8 x + 65) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 4 + 7 i, 4 - 7 i$

解题步骤 3

初级微积分 示例

初级微积分示例