初级微积分示例

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 42 x$

解题步骤 1

将 $x^{5} + x^{3} - 42 x$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} + x^{3} - 42 x = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{5} + x^{3} - 42 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 42 x = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 42 x = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从 $- 42 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 42 = 0$

解题步骤 2.1.1.4

从 $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42 = 0$

解题步骤 2.1.1.5

从 $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} + x^{2} - 42) = 0$

解题步骤 2.1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 42) = 0$

解题步骤 2.1.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (u^{2} + u - 42) = 0$

解题步骤 2.1.4

使用 AC 法来对 $u^{2} + u - 42$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 42$ ，和为 $1$ 。

$- 6, 7$

解题步骤 2.1.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$x ((u - 6) (u + 7)) = 0$

解题步骤 2.1.5

因数。

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解题步骤 2.1.5.1

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x ((x^{2} - 6) (x^{2} + 7)) = 0$

解题步骤 2.1.5.2

去掉多余的括号。

$x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

$x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 6 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$x^{2} = 6$

解题步骤 2.4.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{6}$

解题步骤 2.4.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{6}$

解题步骤 2.4.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{6}$

解题步骤 2.4.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} + 7$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 7 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$x^{2} = - 7$

解题步骤 2.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 7}$

解题步骤 2.5.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 7}$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

解题步骤 2.5.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{7}$

解题步骤 2.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{7}$

解题步骤 2.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{7}$

解题步骤 2.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}, i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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