初级微积分示例

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$ , $\tan (θ) < 0$

解题步骤 1

正切函数在第二象限和第四象限中为负。余弦函数在第一象限和第四象限中为正。 $θ$ 的解集仅限于第四象限，因为这是两组中唯一共同包含的象限。

解位于第四象限。

解题步骤 2

使用余弦的定义求单位圆直角三角形的已知边。象限将决定每一个值的符号。

$\cos (θ) = \frac{相邻}{斜边}$

解题步骤 3

求单位圆三角形的对边。因为已知邻边和斜边，可以使用勾股定理求第三边。

$取反 = - \sqrt{{斜边}^{2} - {相邻}^{2}}$

解题步骤 4

替换方程中的已知值。

$取反 = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

解题步骤 5

化简根式内部。

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解题步骤 5.1

对 $\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$ 取反。

对边 $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

解题步骤 5.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

对边 $= - \sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

解题步骤 5.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

对边 $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 5.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

对边 $= - \sqrt{9 - 4}$

解题步骤 5.5

从 $9$ 中减去 $4$ 。

对边 $= - \sqrt{5}$

解题步骤 6

求正弦值。

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解题步骤 6.1

使用正弦的定义求 $\sin (θ)$ 的值。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 6.2

代入已知值。

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{3}$

解题步骤 6.3

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

解题步骤 7

求正切值。

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解题步骤 7.1

使用正切的定义求 $\tan (θ)$ 的值。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

解题步骤 7.2

代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

解题步骤 8

求余切值。

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解题步骤 8.1

使用余切的定义求 $\cot (θ)$ 的值。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

解题步骤 8.2

代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{2}{- \sqrt{5}}$

解题步骤 8.3

化简 $\cot (θ)$ 的值。

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解题步骤 8.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cot (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

解题步骤 8.3.2

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\cot (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 8.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 8.3.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 8.3.3.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 8.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 8.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 8.3.3.6.5

计算指数。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 9

求正割值。

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解题步骤 9.1

使用正割的定义求 $\sec (θ)$ 的值。

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

解题步骤 9.2

代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

解题步骤 10

求余割值。

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解题步骤 10.1

使用余割的定义求 $\csc (θ)$ 的值。

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

解题步骤 10.2

代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{3}{- \sqrt{5}}$

解题步骤 10.3

化简 $\csc (θ)$ 的值。

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解题步骤 10.3.1

将负号移到分数的前面。

$\csc (θ) = - \frac{3}{\sqrt{5}}$

解题步骤 10.3.2

将 $\frac{3}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\csc (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 10.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 10.3.3.1

将 $\frac{3}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 10.3.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 10.3.3.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 10.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 10.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 10.3.3.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 10.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 10.3.3.6.5

计算指数。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 11

这是各个三角函数值的解。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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