初级微积分示例

$f (x) = 2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = 2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8 = 0$ 。

$2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 1.2.2.1.3

代入 $0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.2.1.3.1

将 $0.5$ 代入多项式。

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 22 \cdot 0.5 - 8$

解题步骤 1.2.2.1.3.2

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 22 \cdot 0.5 - 8$

解题步骤 1.2.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $0.125$ 。

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 22 \cdot 0.5 - 8$

解题步骤 1.2.2.1.3.4

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 22 \cdot 0.5 - 8$

解题步骤 1.2.2.1.3.5

将 $- 13$ 乘以 $0.25$ 。

$0.25 - 3.25 + 22 \cdot 0.5 - 8$

解题步骤 1.2.2.1.3.6

从 $0.25$ 中减去 $3.25$ 。

$- 3 + 22 \cdot 0.5 - 8$

解题步骤 1.2.2.1.3.7

将 $22$ 乘以 $0.5$ 。

$- 3 + 11 - 8$

解题步骤 1.2.2.1.3.8

将 $- 3$ 和 $11$ 相加。

$8 - 8$

解题步骤 1.2.2.1.3.9

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$0$

解题步骤 1.2.2.1.4

因为 $0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8}{2 x - 1}$

解题步骤 1.2.2.1.5

用 $2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8$ 除以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$22 x$

$8$

解题步骤 1.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$

解题步骤 1.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 1.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 1.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 12 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 12 x^{2} + 6 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$	-	$8$

解题步骤 1.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $16 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$	-	$8$

解题步骤 1.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$	-	$8$
							+	$16 x$	-	$8$

解题步骤 1.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 x - 8$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$	-	$8$
							-	$16 x$	+	$8$

解题步骤 1.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$22 x$	-	$8$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$16 x$	-	$8$
							-	$16 x$	+	$8$
										$0$

解题步骤 1.2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 6 x + 8$

解题步骤 1.2.2.1.6

将 $2 x^{3} - 13 x^{2} + 22 x - 8$ 书写为因数的集合。

$(2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 6$ 。

$- 4, - 2$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(2 x - 1) ((x - 4) (x - 2)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$(2 x - 1) (x - 4) (x - 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $(2 x - 1) (x - 4) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{2}, 4, 2$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(\frac{1}{2}, 0), (4, 0), (2, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = 2 {(0)}^{3} - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 0^{3} - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0^{2} + 22 (0) - 8$

解题步骤 2.2.3

去掉圆括号。

$y = 2 {(0)}^{3} - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$

解题步骤 2.2.4

化简 $2 {(0)}^{3} - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 2 \cdot 0 - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$

解题步骤 2.2.4.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 - 13 {(0)}^{2} + 22 (0) - 8$

解题步骤 2.2.4.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 13 \cdot 0 + 22 (0) - 8$

解题步骤 2.2.4.1.4

将 $- 13$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 22 (0) - 8$

解题步骤 2.2.4.1.5

将 $22$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 - 8$

解题步骤 2.2.4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.4.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 - 8$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 - 8$

解题步骤 2.2.4.2.3

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$y = - 8$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, - 8)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(\frac{1}{2}, 0), (4, 0), (2, 0)$

y 轴截距： $(0, - 8)$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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