初级微积分示例

$f (x) = 3 e^{2 x - 1} - 7^{x + 1}$

解题步骤 1

将 $3 e^{2 x - 1} - 7^{x + 1}$ 设为等于 $0$ 。

$3 e^{2 x - 1} - 7^{x + 1} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

通过在等式两边同时加上 $- 7^{x + 1}$ 的方法来将其移到等式右边。

$3 e^{2 x - 1} = 7^{x + 1}$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3 e^{2 x - 1}) = \ln (7^{x + 1})$

解题步骤 2.3

展开左边。

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解题步骤 2.3.1

将 $\ln (3 e^{2 x - 1})$ 重写为 $\ln (3) + \ln (e^{2 x - 1})$ 。

$\ln (3) + \ln (e^{2 x - 1}) = \ln (7^{x + 1})$

解题步骤 2.3.2

通过将 $2 x - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{2 x - 1})$ 。

$\ln (3) + (2 x - 1) \ln (e) = \ln (7^{x + 1})$

解题步骤 2.3.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (3) + (2 x - 1) \cdot 1 = \ln (7^{x + 1})$

解题步骤 2.3.4

将 $2 x - 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (3) + 2 x - 1 = \ln (7^{x + 1})$

解题步骤 2.4

通过将 $x + 1$ 移到对数外来展开 $\ln (7^{x + 1})$ 。

$\ln (3) + 2 x - 1 = (x + 1) \ln (7)$

解题步骤 2.5

化简右边。

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解题步骤 2.5.1

化简 $(x + 1) \ln (7)$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

运用分配律。

$\ln (3) + 2 x - 1 = x \ln (7) + 1 \ln (7)$

解题步骤 2.5.1.2

将 $\ln (7)$ 乘以 $1$ 。

$\ln (3) + 2 x - 1 = x \ln (7) + \ln (7)$

解题步骤 2.6

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (3) - x \ln (7) - \ln (7) = - 2 x + 1$

解题步骤 2.7

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- x \ln (7) + \ln (\frac{3}{7}) = - 2 x + 1$

解题步骤 2.8

在等式两边都加上 $2 x$ 。

$- x \ln (7) + \ln (\frac{3}{7}) + 2 x = 1$

解题步骤 2.9

从等式两边同时减去 $\ln (\frac{3}{7})$ 。

$- x \ln (7) + 2 x = 1 - \ln (\frac{3}{7})$

解题步骤 2.10

从 $- x \ln (7) + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.10.1

从 $- x \ln (7)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 1 \ln (7)) + 2 x = 1 - \ln (\frac{3}{7})$

解题步骤 2.10.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 1 \ln (7)) + x \cdot 2 = 1 - \ln (\frac{3}{7})$

解题步骤 2.10.3

从 $x (- 1 \ln (7)) + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (- 1 \ln (7) + 2) = 1 - \ln (\frac{3}{7})$

解题步骤 2.11

将 $- 1 \ln (7)$ 重写为 $- \ln (7)$ 。

$x (- \ln (7) + 2) = 1 - \ln (\frac{3}{7})$

解题步骤 2.12

将 $x (- \ln (7) + 2) = 1 - \ln (\frac{3}{7})$ 中的每一项除以 $- \ln (7) + 2$ 并化简。

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解题步骤 2.12.1

将 $x (- \ln (7) + 2) = 1 - \ln (\frac{3}{7})$ 中的每一项都除以 $- \ln (7) + 2$ 。

$\frac{x (- \ln (7) + 2)}{- \ln (7) + 2} = \frac{1}{- \ln (7) + 2} + \frac{- \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

解题步骤 2.12.2

化简左边。

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解题步骤 2.12.2.1

约去 $- \ln (7) + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (- \ln (7) + 2)}{- \ln (7) + 2} = \frac{1}{- \ln (7) + 2} + \frac{- \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

解题步骤 2.12.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{- \ln (7) + 2} + \frac{- \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

解题步骤 2.12.3

化简右边。

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解题步骤 2.12.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = \frac{1}{- \ln (7) + 2} - \frac{\ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

解题步骤 2.12.3.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

解题步骤 2.12.3.3

从 $- \ln (7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

解题步骤 2.12.3.4

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$x = \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) - 1 (- 2)}$

解题步骤 2.12.3.5

从 $- \ln (7) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{- (\ln (7) - 2)}$

解题步骤 2.12.3.6

重写负数。

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解题步骤 2.12.3.6.1

将 $- (\ln (7) - 2)$ 重写为 $- 1 (\ln (7) - 2)$ 。

$x = \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{- 1 (\ln (7) - 2)}$

解题步骤 2.12.3.6.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{\ln (7) - 2}$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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