初级微积分示例

$f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} + 19 x - 20$

解题步骤 1

将 $- x^{3} + 2 x^{2} + 19 x - 20$ 设为等于 $0$ 。

$- x^{3} + 2 x^{2} + 19 x - 20 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

使用有理根检验法因式分解 $- x^{3} + 2 x^{2} + 19 x - 20$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

解题步骤 2.1.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$- 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} + 19 \cdot 1 - 20$

解题步骤 2.1.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} + 19 \cdot 1 - 20$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 2 \cdot 1^{2} + 19 \cdot 1 - 20$

解题步骤 2.1.1.3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 + 2 \cdot 1 + 19 \cdot 1 - 20$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 2 + 19 \cdot 1 - 20$

解题步骤 2.1.1.3.6

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$1 + 19 \cdot 1 - 20$

解题步骤 2.1.1.3.7

将 $19$ 乘以 $1$ 。

$1 + 19 - 20$

解题步骤 2.1.1.3.8

将 $1$ 和 $19$ 相加。

$20 - 20$

解题步骤 2.1.1.3.9

从 $20$ 中减去 $20$ 。

$0$

解题步骤 2.1.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 19 x - 20}{x - 1}$

解题步骤 2.1.1.5

用 $- x^{3} + 2 x^{2} + 19 x - 20$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$19 x$

$20$

解题步骤 2.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$19 x$

解题步骤 2.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$19 x$

解题步骤 2.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$19 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 2.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$19 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$19 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$20 x$

解题步骤 2.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$19 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $20 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$19 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$19 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $20 x - 20$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$19 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

解题步骤 2.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$19 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$19 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

解题步骤 2.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{2} + x + 20$

解题步骤 2.1.1.6

将 $- x^{3} + 2 x^{2} + 19 x - 20$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) (- x^{2} + x + 20) = 0$

解题步骤 2.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

乘以 $1$ 。

$(x - 1) (- x^{2} + 1 x + 20) = 0$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

把 $1$ 重写为 $- 4$ 加 $5$

$(x - 1) (- x^{2} + (- 4 + 5) x + 20) = 0$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

运用分配律。

$(x - 1) (- x^{2} - 4 x + 5 x + 20) = 0$

解题步骤 2.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 1) ((- x^{2} - 4 x) + 5 x + 20) = 0$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 1) (x (- x - 4) - 5 (- x - 4)) = 0$

解题步骤 2.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 4$ 来因式分解多项式。

$(x - 1) ((- x - 4) (x - 5)) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) (- x - 4) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$- x - 4 = 0$

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.4

将 $- x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $- x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$- x - 4 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $- x - 4 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$- x = 4$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- x = 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $- x = 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.3.1

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.5

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(x - 1) (- x - 4) (x - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 4, 5$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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