初级微积分示例

$r^{2} \cos^{3} (θ) = \sin (θ)$

解题步骤 1

将 $r^{2} \cos^{3} (θ) = \sin (θ)$ 中的每一项除以 $\cos^{3} (θ)$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $r^{2} \cos^{3} (θ) = \sin (θ)$ 中的每一项都除以 $\cos^{3} (θ)$ 。

$\frac{r^{2} \cos^{3} (θ)}{\cos^{3} (θ)} = \frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $\cos^{3} (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{r^{2} \cos^{3} (θ)}{\cos^{3} (θ)} = \frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $r^{2}$ 除以 $1$ 。

$r^{2} = \frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$

解题步骤 2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$r = \pm \sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}}$

解题步骤 3

化简 $\pm \sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $\sin (θ)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}}$

解题步骤 3.1.2

从 $\cos^{3} (θ)$ 中因式分解出完全幂数 $\cos^{2} (θ)$ 。

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \sin (θ)}{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}}$

解题步骤 3.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} \sin (θ)}{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}$ 。

$r = \pm \sqrt{{(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.2

从根式下提出各项。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.3

将 $\sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ 。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.4

将 $\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ 。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} (\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}} \cdot \frac{\sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}})$

解题步骤 3.5

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ 。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.5.2

对 $\sqrt{\cos (θ)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{1} \sqrt{\cos (θ)}}$

解题步骤 3.5.3

对 $\sqrt{\cos (θ)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{1} {\sqrt{\cos (θ)}}^{1}}$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{2}}$

解题步骤 3.5.6

将 ${\sqrt{\cos (θ)}}^{2}$ 重写为 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 3.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\cos (θ)}$ 重写成 ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.6.4.1

约去公因数。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.5.6.4.2

重写表达式。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{\cos^{1} (θ)}$

解题步骤 3.5.6.5

化简。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{\cos (θ)}$

解题步骤 3.6

使用根数乘积法则进行合并。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ)}$

解题步骤 3.7

乘以 $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ)}$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 乘以 $\frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ)}$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ) \cos (θ)}$

解题步骤 3.7.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

解题步骤 3.7.3

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

解题步骤 3.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

$r = - \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

$r = \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

$r = - \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

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