初级微积分示例

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(5) \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

解题步骤 1.2

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $i$ 。

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2}$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 和 $b = \frac{5}{2}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5

求 $| z |$ 。

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解题步骤 5.1

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.4.1

对 $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

对 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 5.4.3

对 $5 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 5.5

化简表达式。

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解题步骤 5.5.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

解题步骤 5.5.2

将 $\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.6

化简分子。

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解题步骤 5.6.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.6.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 5.6.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

解题步骤 5.6.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

解题步骤 5.7

化简表达式。

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解题步骤 5.7.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

解题步骤 5.7.2

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

解题步骤 5.7.3

在公分母上合并分子。

$| z | = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

解题步骤 5.7.4

将 $25$ 和 $75$ 相加。

$| z | = \sqrt{\frac{100}{4}}$

解题步骤 5.7.5

用 $100$ 除以 $4$ 。

$| z | = \sqrt{25}$

解题步骤 5.7.6

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 5.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 5$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}})$

解题步骤 7

因为 $\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $\frac{5 π}{6}$ 。

$θ = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 8

代入 $θ = \frac{5 π}{6}$ 和 $| z | = 5$ 的值。

$5 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

初级微积分 示例

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