初级微积分示例

${(4 + 4 i)}^{5}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.2

通过指数相加将 $4^{4}$ 乘以 $4$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

移动 $4$ 。

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $4$ 乘以 $4^{4}$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.3

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.4

将 $5$ 乘以 $1024$ 。

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.5

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.6

将 $10$ 乘以 $64$ 。

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.7

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.8

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.9

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.10

乘以 $640 (16 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.10.1

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.10.2

将 $640$ 乘以 $- 16$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.11

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.12

将 $10$ 乘以 $16$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.13

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.14

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.15

因式分解出 $i^{2}$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.17

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.18

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.19

将 $- 64$ 乘以 $160$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.20

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.21

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.22

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.23

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.23.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.23.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.23.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.24

乘以 $20 (256 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.1.24.1

将 $256$ 乘以 $1$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.24.2

将 $20$ 乘以 $256$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

解题步骤 2.1.25

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

解题步骤 2.1.26

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

解题步骤 2.1.27

因式分解出 $i^{4}$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

解题步骤 2.1.28

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.28.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

解题步骤 2.1.28.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

解题步骤 2.1.28.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

解题步骤 2.1.29

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $1024$ 中减去 $10240$ 。

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

解题步骤 2.2.2

将 $- 9216$ 和 $5120$ 相加。

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

解题步骤 2.2.3

从 $5120 i$ 中减去 $10240 i$ 。

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

解题步骤 2.2.4

将 $- 5120 i$ 和 $1024 i$ 相加。

$- 4096 - 4096 i$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = - 4096$ 和 $b = - 4096$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $- 4096$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $- 4096$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

解题步骤 6.3

将 $16777216$ 和 $16777216$ 相加。

$| z | = \sqrt{33554432}$

解题步骤 6.4

将 $33554432$ 重写为 $4096^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $33554432$ 中分解出因数 $16777216$ 。

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

解题步骤 6.4.2

将 $16777216$ 重写为 $4096^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

解题步骤 6.5

从根式下提出各项。

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

解题步骤 8

因为 $\frac{- 4096}{- 4096}$ 的反正切得到一个在第三象限中的角，所以该角度值为 $\frac{5 π}{4}$ 。

$θ = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 9

代入 $θ = \frac{5 π}{4}$ 和 $| z | = 4096 \sqrt{2}$ 的值。

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$

初级微积分 示例

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