初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{5} - 3 x^{4} - 13 x^{3} + 18 x^{2} - 17 x + 12}{x - 5}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{5} - 3 x^{4} - 13 x^{3} + 18 x^{2} - 17 x + 12}{x - 5}$ 无定义。

$x = 5$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 5$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{4}$
	$x$	-	$5$		$x^{5}$	-	$3 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$17 x$	+	$12$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{5} - 5 x^{4}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $2 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{4} - 10 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

解题步骤 5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

解题步骤 5.12

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

解题步骤 5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

解题步骤 5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{3} + 15 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

解题步骤 5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

解题步骤 5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

解题步骤 5.17

将被除数中的最高阶项 $3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

解题步骤 5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

解题步骤 5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{2} - 15 x$ 中的所有符号

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

解题步骤 5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

解题步骤 5.21

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

解题步骤 5.22

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

解题步骤 5.23

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

解题步骤 5.24

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x + 10$ 中的所有符号

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

解题步骤 5.25

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

$2$

解题步骤 5.26

最终答案为商加上余数除以除数。

$x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{2}{x - 5}$

解题步骤 5.27

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 5$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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