初级微积分示例

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ 无定义。

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ 时， $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ 时， $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ 是一条垂直渐近线。

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 时， $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 时， $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ 是一条垂直渐近线。

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 5$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 8.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

解题步骤 8.2

将被除数中的最高阶项 $6 x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

解题步骤 8.3

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

解题步骤 8.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{5} + 0 - 9 x^{3}$ 中的所有符号

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

解题步骤 8.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

解题步骤 8.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

解题步骤 8.7

将被除数中的最高阶项 $6 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 。

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

解题步骤 8.8

将新的商式项乘以除数。

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

解题步骤 8.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{3} + 0 - 9 x$ 中的所有符号

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

解题步骤 8.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

$16 x$

解题步骤 8.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

$16 x$

$3$

解题步骤 8.12

最终答案为商加上余数除以除数。

$3 x^{3} + 3 x + \frac{16 x - 3}{2 x^{2} - 3}$

解题步骤 8.13

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 3 x^{3} + 3 x$

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 3 x^{3} + 3 x$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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