初级微积分示例

${(x + y^{2})}^{3}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(y^{2})}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(y^{2})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(y^{2})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(y^{2})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

${(x)}^{3} \cdot {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.2

将 ${(y^{2})}^{0}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{3} \cdot y^{2 \cdot 0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$x^{3} \cdot y^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.4

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.5

将 ${(y^{2})}^{1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot y^{2 \cdot 1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot y^{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.6

化简。

$x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + 3 \cdot x \cdot {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.7

将 ${(y^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x \cdot y^{2 \cdot 2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x \cdot y^{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.8

将 ${(x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + {(x)}^{0} \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + 1 \cdot {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.10

将 ${(y^{2})}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + {(y^{2})}^{3}$

解题步骤 4.11

将 ${(y^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.11.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + y^{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.11.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{4} + y^{6}$

初级微积分 示例

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