初级微积分示例

$\frac{5}{6} = \frac{2 m}{2 m + 2} - \frac{1}{3 m - 3}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{2 m}{2 m + 2} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$ 。

$\frac{2 m}{2 m + 2} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

解题步骤 2

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 2.1

从 $2 m + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $2 m$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 m}{2 (m) + 2} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

解题步骤 2.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 m}{2 (m) + 2 (1)} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

解题步骤 2.1.3

从 $2 (m) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 m}{2 (m + 1)} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

解题步骤 2.2

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 m}{2 (m + 1)}$ 。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\frac{2 m}{2 (m + 1)} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

解题步骤 2.3

从 $3 m - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.3.1

从 $3 m$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 (m) - 3} = \frac{5}{6}$

解题步骤 2.3.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 (m) + 3 (- 1)} = \frac{5}{6}$

解题步骤 2.3.3

从 $3 (m) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 (m - 1)} = \frac{5}{6}$

解题步骤 3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$m + 1, 3 (m - 1), 6$

解题步骤 3.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 3.4

因为除了 $1$ 和 $3$ 之外， $3$ 没有其他因数。

$3$ 是一个质数

解题步骤 3.5

$6$ 具有因式 $2$ 和 $3$ 。

$2 \cdot 3$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6$

解题步骤 3.7

$m + 1$ 的因式是 $m + 1$ 本身。

$(m + 1) = m + 1$

$(m + 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.8

$m - 1$ 的因式是 $m - 1$ 本身。

$(m - 1) = m - 1$

$(m - 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.9

$m + 1, m - 1$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(m + 1) (m - 1)$

解题步骤 3.10

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$6 (m + 1) (m - 1)$

解题步骤 4

将 $\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 (m - 1)} = \frac{5}{6}$ 中的每一项乘以 $6 (m + 1) (m - 1)$ 以消去分数。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 (m - 1)} = \frac{5}{6}$ 中的每一项乘以 $6 (m + 1) (m - 1)$ 。

$\frac{m}{m + 1} (6 (m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$6 \frac{m}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.2

组合 $6$ 和 $\frac{m}{m + 1}$ 。

$\frac{6 m}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.3

约去 $m + 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{6 m}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.3.2

重写表达式。

$6 m (m - 1) - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.4

运用分配律。

$6 m \cdot m + 6 m \cdot - 1 - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.5

通过指数相加将 $m$ 乘以 $m$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

移动 $m$ 。

$6 (m \cdot m) + 6 m \cdot - 1 - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.5.2

将 $m$ 乘以 $m$ 。

$6 m^{2} + 6 m \cdot - 1 - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$6 m^{2} - 6 m - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.7

约去 $3 (m - 1)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.7.1

将 $- \frac{1}{3 (m - 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$6 m^{2} - 6 m + \frac{- 1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.7.2

从 $6 (m + 1) (m - 1)$ 中分解出因数 $3 (m - 1)$ 。

$6 m^{2} - 6 m + \frac{- 1}{3 (m - 1)} (3 (m - 1) (2 (m + 1))) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.7.3

约去公因数。

$6 m^{2} - 6 m + \frac{- 1}{3 (m - 1)} (3 (m - 1) (2 (m + 1))) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.7.4

重写表达式。

$6 m^{2} - 6 m - (2 (m + 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 m^{2} - 6 m - 2 (m + 1) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.9

运用分配律。

$6 m^{2} - 6 m - 2 m - 2 \cdot 1 = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.1.10

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$6 m^{2} - 6 m - 2 m - 2 = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.2.2

从 $- 6 m$ 中减去 $2 m$ 。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $6 (m + 1) (m - 1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = \frac{5}{6} (6 ((m + 1) (m - 1)))$

解题步骤 4.3.1.2

约去公因数。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = \frac{5}{6} (6 ((m + 1) (m - 1)))$

解题步骤 4.3.1.3

重写表达式。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 ((m + 1) (m - 1))$

解题步骤 4.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(m + 1) (m - 1)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

运用分配律。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m (m - 1) + 1 (m - 1))$

解题步骤 4.3.2.2

运用分配律。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m \cdot m + m \cdot - 1 + 1 (m - 1))$

解题步骤 4.3.2.3

运用分配律。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m \cdot m + m \cdot - 1 + 1 m + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1.1

将 $m$ 乘以 $m$ 。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} + m \cdot - 1 + 1 m + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $m$ 的左侧。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} - 1 \cdot m + 1 m + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.3.1.3

将 $- 1 m$ 重写为 $- m$ 。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} - m + 1 m + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.3.1.4

将 $m$ 乘以 $1$ 。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} - m + m + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 4.3.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} - m + m - 1)$

解题步骤 4.3.3.2

将 $- m$ 和 $m$ 相加。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} + 0 - 1)$

解题步骤 4.3.3.3

将 $m^{2}$ 和 $0$ 相加。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} - 1)$

解题步骤 4.3.4

运用分配律。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 m^{2} + 5 \cdot - 1$

解题步骤 4.3.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 m^{2} - 5$

解题步骤 5

求解方程。

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解题步骤 5.1

将所有包含 $m$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $5 m^{2}$ 。

$6 m^{2} - 8 m - 2 - 5 m^{2} = - 5$

解题步骤 5.1.2

从 $6 m^{2}$ 中减去 $5 m^{2}$ 。

$m^{2} - 8 m - 2 = - 5$

解题步骤 5.2

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$m^{2} - 8 m - 2 + 5 = 0$

解题步骤 5.2.2

将 $- 2$ 和 $5$ 相加。

$m^{2} - 8 m + 3 = 0$

解题步骤 5.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 8$ 和 $c = 3$ 的值代入二次公式中并求解 $m$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.1.3

从 $64$ 中减去 $12$ 。

$m = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.1.4

将 $52$ 重写为 $2^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1

从 $52$ 中分解出因数 $4$ 。

$m = \frac{8 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$m = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.1.5

从根式下提出各项。

$m = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$m = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

解题步骤 5.5.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ 。

$m = 4 \pm \sqrt{13}$

解题步骤 5.6

最终答案为两个解的组合。

$m = 4 + \sqrt{13}, 4 - \sqrt{13}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$m = 4 + \sqrt{13}, 4 - \sqrt{13}$

小数形式：

$m = 7.60555127 \dots, 0.39444872 \dots$

初级微积分 示例

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