初级微积分示例

$x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y + 56.5 = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $56.5$ 。

$x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y = - 56.5$

解题步骤 2

对 $x^{2} + x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

约去公因数。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2

重写表达式。

$d = \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{1}{4}$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{4}$ 。

$e = - \frac{1}{4}$

解题步骤 2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

解题步骤 3

在方程 $x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y = - 56.5$ 中，用 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ 代替 $x^{2} + x$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + 5 y^{2} - 35 y = - 56.5$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{4}$ 的方法来将 $- \frac{1}{4}$ 移到等式右边。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 y^{2} - 35 y = - 56.5 + \frac{1}{4}$

解题步骤 5

对 $5 y^{2} - 35 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 5$

$b = - 35$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 35}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 35$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $- 35$ 中分解出因数 $5$ 。

$d = \frac{5 \cdot - 7}{2 \cdot 5}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$d = \frac{5 \cdot - 7}{5 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{5 \cdot - 7}{5 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 7}{2}$

解题步骤 5.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{7}{2}$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 35)}^{2}}{4 \cdot 5}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $- 35$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1225}{4 \cdot 5}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$e = 0 - \frac{1225}{20}$

解题步骤 5.4.2.1.3

约去 $1225$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.3.1

从 $1225$ 中分解出因数 $5$ 。

$e = 0 - \frac{5 (245)}{20}$

解题步骤 5.4.2.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.3.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$e = 0 - \frac{5 \cdot 245}{5 \cdot 4}$

解题步骤 5.4.2.1.3.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{5 \cdot 245}{5 \cdot 4}$

解题步骤 5.4.2.1.3.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{245}{4}$

解题步骤 5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{245}{4}$ 。

$e = - \frac{245}{4}$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4}$ 。

$5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4}$

解题步骤 6

在方程 $x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y = - 56.5$ 中，用 $5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4}$ 代替 $5 y^{2} - 35 y$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4} = - 56.5 + \frac{1}{4}$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $\frac{245}{4}$ 的方法来将 $- \frac{245}{4}$ 移到等式右边。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{1}{4} + \frac{245}{4}$

解题步骤 8

化简 $- 56.5 + \frac{1}{4} + \frac{245}{4}$ 。

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解题步骤 8.1

在公分母上合并分子。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{1 + 245}{4}$

解题步骤 8.2

将 $1$ 和 $245$ 相加。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{246}{4}$

解题步骤 8.3

约去 $246$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从 $246$ 中分解出因数 $2$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{2 (123)}{4}$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{2 \cdot 123}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{2 \cdot 123}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.3.2.3

重写表达式。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{123}{2}$

解题步骤 8.4

要将 $- 56.5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{123}{2}$

解题步骤 8.5

组合 $- 56.5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 56.5 \cdot 2}{2} + \frac{123}{2}$

解题步骤 8.6

在公分母上合并分子。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 56.5 \cdot 2 + 123}{2}$

解题步骤 8.7

化简分子。

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解题步骤 8.7.1

将 $- 56.5$ 乘以 $2$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 113 + 123}{2}$

解题步骤 8.7.2

将 $- 113$ 和 $123$ 相加。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{10}{2}$

解题步骤 8.8

用 $10$ 除以 $2$ 。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = 5$

解题步骤 9

将每一项除以 $5$ 以使方程右边等于一。

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{5 {(y - \frac{7}{2})}^{2}}{5} = \frac{5}{5}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{1}{0.2}} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = 1$

初级微积分 示例

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