初级微积分示例

$125 x^{6} - 25 x^{4} - 20 x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(125 x^{6} - 25 x^{4}) - 20 x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$25 x^{4} (5 x^{2} - 1) - 4 (5 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 1.2

通过因式分解出最大公因数 $5 x^{2} - 1$ 来因式分解多项式。

$(5 x^{2} - 1) (25 x^{4} - 4) = 0$

解题步骤 1.3

将 $25 x^{4}$ 重写为 ${(5 x^{2})}^{2}$ 。

$(5 x^{2} - 1) ({(5 x^{2})}^{2} - 4) = 0$

解题步骤 1.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(5 x^{2} - 1) ({(5 x^{2})}^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 1.5

因数。

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解题步骤 1.5.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5 x^{2}$ 和 $b = 2$ 。

$(5 x^{2} - 1) ((5 x^{2} + 2) (5 x^{2} - 2)) = 0$

解题步骤 1.5.2

去掉多余的括号。

$(5 x^{2} - 1) (5 x^{2} + 2) (5 x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5 x^{2} - 1 = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

$5 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 3

将 $5 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $5 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$5 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $5 x^{2} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$5 x^{2} = 1$

解题步骤 3.2.2

将 $5 x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $5 x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{1}{5}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{1}{5}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{5}$

解题步骤 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

解题步骤 3.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 3.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

解题步骤 3.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 3.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 3.2.4.4.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 3.2.4.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 3.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.4.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 3.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 3.2.4.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 3.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 3.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 3.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 4

将 $5 x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $5 x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$5 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $5 x^{2} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$5 x^{2} = - 2$

解题步骤 4.2.2

将 $5 x^{2} = - 2$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $5 x^{2} = - 2$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

解题步骤 4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

解题步骤 4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

解题步骤 4.2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

解题步骤 4.2.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

解题步骤 4.2.4.3

将 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 4.2.4.4

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 4.2.4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.4.5.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 4.2.4.5.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 4.2.4.5.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 4.2.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.2.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 4.2.4.5.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.2.4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.5.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.2.4.5.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 4.2.4.5.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 4.2.4.6

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

解题步骤 4.2.4.6.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

解题步骤 4.2.4.7

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

解题步骤 4.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

解题步骤 4.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

解题步骤 4.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

解题步骤 5

将 $5 x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $5 x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$5 x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $5 x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$5 x^{2} = 2$

解题步骤 5.2.2

将 $5 x^{2} = 2$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $5 x^{2} = 2$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{2}{5}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{2}{5}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{2}{5}$

解题步骤 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

解题步骤 5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 5.2.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.2.4.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 5.2.4.3.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 5.2.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.2.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.3.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 5.2.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 5.2.4.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5.2.4.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

解题步骤 5.2.4.4.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

解题步骤 5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

解题步骤 5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

解题步骤 5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

解题步骤 6

最终解为使 $(5 x^{2} - 1) (5 x^{2} + 2) (5 x^{2} - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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