初级微积分示例

$\cos (\tan^{-1} (u) - \cos^{-1} (v))$

解题步骤 1

使用两角差的公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos (\tan^{-1} (u)) \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

在平面中画出顶点为 $(1, u)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\tan^{-1} (u)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, u)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\tan^{-1} (u))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3.2

对 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3.3

对 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3.6

将 ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + u^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 重写成 ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.3.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cos (\cos^{-1} (v)) + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.4

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} v + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.5

组合 $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ 和 $v$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \sin (\tan^{-1} (u)) \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.6

在平面中画出顶点为 $(1, u)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\tan^{-1} (u)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, u)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\tan^{-1} (u))$ 为 $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.7

将 $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.8.1

将 $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8.2

对 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8.3

对 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8.6

将 ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ 重写为 $1 + u^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + u^{2}}$ 重写成 ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.8.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.8.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sin (\cos^{-1} (v))$

解题步骤 2.1.9

在平面中画出顶点为 $(v, \sqrt{1^{2} - v^{2}})$ 、 $(v, 0)$ 和原点的三角形。则 $\cos^{-1} (v)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(v, \sqrt{1^{2} - v^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\cos^{-1} (v))$ 为 $\sqrt{1 - v^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1 - v^{2}}$

解题步骤 2.1.10

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1^{2} - v^{2}}$

解题步骤 2.1.11

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = v$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$

解题步骤 2.1.12

乘以 $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ 。

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解题步骤 2.1.12.1

组合 $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ 和 $\sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}}{1 + u^{2}}$

解题步骤 2.1.12.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}} + \frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}}$

解题步骤 2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}} v + u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}}$

初级微积分 示例

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