初级微积分示例

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} = \sec (θ) + \tan (θ)$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$

解题步骤 2

将 $\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$ 乘以 $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ 。

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

解题步骤 3

合并。

$\frac{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) \sin (θ)}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

解题步骤 4.2

将 $\cos (θ)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))$ 。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 (1 + \sin (θ)) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (θ) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (θ) - \sin (θ) \cdot 1 - \sin (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.2

化简并合并同类项。

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 - \sin^{2} (θ)}$

解题步骤 6

使用勾股恒等式。

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

从 $\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 7.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) \sin (θ)}{{\cos (θ)}^{2}}$

解题步骤 7.1.2

从 $\cos (θ) \sin (θ)$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

$\frac{\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (\sin (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

解题步骤 7.1.3

从 $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (\sin (θ))$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

$\frac{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{1 + \sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 8

现在，考虑等式的右边。

$\sec (θ) + \tan (θ)$

解题步骤 9

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 9.1

对 $\sec (θ)$ 使用倒数恒等式。

$\frac{1}{\cos (θ)} + \tan (θ)$

解题步骤 9.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (θ)$ 。

$\frac{1}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 10

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + \sin (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 11

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} = \sec (θ) + \tan (θ)$ 是一个恒等式

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