初级微积分示例

${(2 c + b)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 c)}^{4 - k} \cdot {(b)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 c)}^{4 - 0} \cdot {(b)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 c)}^{4 - 1} \cdot {(b)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 c)}^{4 - 2} \cdot {(b)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 c)}^{4 - 3} \cdot {(b)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 c)}^{4 - 4} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(2 c)}^{4} \cdot {(b)}^{0} + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(2 c)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

${(2 c)}^{4} \cdot {(b)}^{0} + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.2

对 $2 c$ 运用乘积法则。

$2^{4} c^{4} \cdot {(b)}^{0} + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 c^{4} \cdot {(b)}^{0} + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$16 c^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.5

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$16 c^{4} + 4 \cdot {(2 c)}^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.6

对 $2 c$ 运用乘积法则。

$16 c^{4} + 4 \cdot (2^{3} c^{3}) \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 c^{4} + 4 \cdot (8 c^{3}) \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.8

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$16 c^{4} + 32 c^{3} \cdot {(b)}^{1} + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.9

化简。

$16 c^{4} + 32 c^{3} \cdot b + 6 \cdot {(2 c)}^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.10

对 $2 c$ 运用乘积法则。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 6 \cdot (2^{2} c^{2}) \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 6 \cdot (4 c^{2}) \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.12

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} \cdot {(b)}^{2} + 4 \cdot {(2 c)}^{1} \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.13

化简。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 4 \cdot (2 c) \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.14

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c \cdot {(b)}^{3} + 1 \cdot {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.15

将 ${(2 c)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + {(2 c)}^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.16

对 $2 c$ 运用乘积法则。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + 2^{0} c^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.17

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + 1 c^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.18

将 $c^{0}$ 乘以 $1$ 。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + c^{0} \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.19

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + 1 \cdot {(b)}^{4}$

解题步骤 4.20

将 ${(b)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$16 c^{4} + 32 c^{3} b + 24 c^{2} b^{2} + 8 c b^{3} + b^{4}$

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