初级微积分示例

$y = 5 \tan (x - \frac{π}{3})$

解题步骤 1

对于任意 $y = \tan (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = \tan (x)$ 、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 的基本周期求 $y = 5 \tan (x - \frac{π}{3})$ 的垂直渐近线。将 $y = a \tan (b x + c) + d$ 的正切函数的变量 $b x + c$ 设为等于 $- \frac{π}{2}$ ，以求 $y = 5 \tan (x - \frac{π}{3})$ 的垂直渐近线出现的位置。

$x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}$

解题步骤 2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{2} + \frac{π}{3}$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 2.3

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{6}$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$x = \frac{- π \cdot 3 + π \cdot 2}{6}$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 π + π \cdot 2}{6}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{- 3 π + 2 \cdot π}{6}$

解题步骤 2.6.3

将 $- 3 π$ 和 $2 π$ 相加。

$x = \frac{- π}{6}$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 3

使正切函数内的 $x - \frac{π}{3}$ 等于 $\frac{π}{2}$ 。

$x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

解题步骤 4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{3}$

解题步骤 4.2

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 4.3

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.4.3

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{6}$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 + π \cdot 2}{6}$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π + π \cdot 2}{6}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{6}$

解题步骤 4.6.3

将 $3 π$ 和 $2 π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 5

$y = 5 \tan (x - \frac{π}{3})$ 的基期将出现在 $(- \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ ，其中 $- \frac{π}{6}$ 和 $\frac{5 π}{6}$ 为垂直渐近线。

$(- \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$

解题步骤 6

求周期 $\frac{π}{| b |}$ 以确定垂直渐近线的位置。

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解题步骤 6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 6.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 7

$y = 5 \tan (x - \frac{π}{3})$ 的垂直渐近线出现在 $- \frac{π}{6}$ 、 $\frac{5 π}{6}$ 以及每一处 $x = - \frac{π}{6} + π n$ ，其中 $n$ 为整数。

$x = - \frac{π}{6} + π n$

解题步骤 8

正切只具有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = - \frac{π}{6} + π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 9

初级微积分 示例

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