初级微积分示例

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y + 247 = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $247$ 。

$16 x^{2} + 80 x + 16 y^{2} - 112 y = - 247$

解题步骤 2

等式两边同时除以 $16$ 。

$x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

解题步骤 3

对 $x^{2} + 5 x$ 进行配方。

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解题步骤 3.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

解题步骤 3.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 3.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$d = \frac{5}{2}$

解题步骤 3.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 3.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{25}{4}$

解题步骤 3.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{25}{4}$ 。

$e = - \frac{25}{4}$

解题步骤 3.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ 。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

解题步骤 4

在方程 $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ 中，用 ${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ 代替 $x^{2} + 5 x$ 。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$

解题步骤 5

通过在等式两边同时加上 $\frac{25}{4}$ 的方法来将 $- \frac{25}{4}$ 移到等式右边。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

解题步骤 6

对 $y^{2} - 7 y$ 进行配方。

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解题步骤 6.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

解题步骤 6.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 6.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 6.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$d = \frac{- 7}{2}$

解题步骤 6.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{7}{2}$

解题步骤 6.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 6.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{49}{4}$

解题步骤 6.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{49}{4}$ 。

$e = - \frac{49}{4}$

解题步骤 6.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ 。

${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

解题步骤 7

在方程 $x^{2} + 5 x + y^{2} - 7 y = - \frac{247}{16}$ 中，用 ${(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ 代替 $y^{2} - 7 y$ 。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4}$

解题步骤 8

通过在等式两边同时加上 $\frac{49}{4}$ 的方法来将 $- \frac{49}{4}$ 移到等式右边。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$

解题步骤 9

化简 $- \frac{247}{16} + \frac{25}{4} + \frac{49}{4}$ 。

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解题步骤 9.1

合并分数。

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解题步骤 9.1.1

在公分母上合并分子。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{25 + 49}{4}$

解题步骤 9.1.2

将 $25$ 和 $49$ 相加。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247}{16} + \frac{74}{4}$

解题步骤 9.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1

将负号移到分数的前面。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{74}{4}$

解题步骤 9.2.2

约去 $74$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $74$ 中分解出因数 $2$ 。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 (37)}{4}$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.2.2.2.2

约去公因数。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.2.2.2.3

重写表达式。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2}$

解题步骤 9.3

要将 $\frac{37}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37}{2} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 9.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 9.4.1

将 $\frac{37}{2}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

解题步骤 9.4.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - \frac{247}{16} + \frac{37 \cdot 8}{16}$

解题步骤 9.5

在公分母上合并分子。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 37 \cdot 8}{16}$

解题步骤 9.6

化简分子。

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解题步骤 9.6.1

将 $37$ 乘以 $8$ 。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 247 + 296}{16}$

解题步骤 9.6.2

将 $- 247$ 和 $296$ 相加。

${(x + \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{49}{16}$

解题步骤 10

这是圆的形式。使用此形式可确定圆心和圆半径。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

解题步骤 11

将该圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $r$ 表示圆的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$r = \frac{7}{4}$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{7}{2}$

解题步骤 12

该圆的圆心求得为 $(h, k)$ 。

中心点： $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

解题步骤 13

这些值代表的是绘制和分析圆时的重要数值。

中心点： $(- \frac{5}{2}, \frac{7}{2})$

半径： $\frac{7}{4}$

解题步骤 14

初级微积分 示例

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