初级微积分示例

$n (t) = \frac{1}{t} + \frac{3}{t^{2}} + \frac{2}{t^{3}} + 4$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{1}{t} + \frac{3}{t^{2}} + \frac{2}{t^{3}} + 4$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$ 。

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{t}$ 重写为 $t^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- t^{- 2} + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{3}{t^{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{3}{t^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ 。

$- t^{- 2} + 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{t^{2}}$ 重写为 ${(t^{2})}^{- 1}$ 。

$- t^{- 2} + 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = t^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $t^{2}$ 。

$- t^{- 2} + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- t^{- 2} + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.3.3

使用 $t^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- t^{- 2} + 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- t^{- 2} + 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.5

将 ${(t^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- t^{- 2} + 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- t^{- 2} + 3 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- t^{- 2} + 3 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.7

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- t^{- 2} + 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- t^{- 2} + 3 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- t^{- 2} + 3 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 3.10

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d t} [\frac{2}{t^{3}}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{2}{t^{3}}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{t^{3}}$ 重写为 ${(t^{3})}^{- 1}$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = t^{3}$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t^{3}$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.3.3

使用 $t^{3}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.5

将 ${(t^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.7

通过指数相加将 $t^{- 6}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 4.7.1

移动 $t^{2}$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} + 2 (- 3 t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 4.8

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} - 6 t^{- 4} + \frac{d}{d t} [4]$

解题步骤 5

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- t^{- 2} - 6 t^{- 3} - 6 t^{- 4} + 0$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{t^{2}} - 6 t^{- 3} - 6 t^{- 4} + 0$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{t^{2}} - 6 \frac{1}{t^{3}} - 6 t^{- 4} + 0$

解题步骤 6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{t^{2}} - 6 \frac{1}{t^{3}} - 6 \frac{1}{t^{4}} + 0$

解题步骤 6.4

合并项。

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解题步骤 6.4.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{t^{3}}$ 。

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{- 6}{t^{3}} - 6 \frac{1}{t^{4}} + 0$

解题步骤 6.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - 6 \frac{1}{t^{4}} + 0$

解题步骤 6.4.3

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{t^{4}}$ 。

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} + \frac{- 6}{t^{4}} + 0$

解题步骤 6.4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t^{4}} + 0$

解题步骤 6.4.5

将 $- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t^{4}}$

初级微积分 示例

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