初级微积分示例

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{144} = 1$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $\frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$ 。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = 1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$

解题步骤 2

化简 $1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$ 。

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解题步骤 2.1

合并为一个分式。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144}{144} + \frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$

解题步骤 2.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + {(x - 3)}^{2}}{144}$

解题步骤 2.2

化简分子。

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解题步骤 2.2.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + (x - 3) (x - 3)}{144}$

解题步骤 2.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

运用分配律。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x (x - 3) - 3 (x - 3)}{144}$

解题步骤 2.2.2.2

运用分配律。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)}{144}$

解题步骤 2.2.2.3

运用分配律。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{144}$

解题步骤 2.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{144}$

解题步骤 2.2.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3}{144}$

解题步骤 2.2.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} - 3 x - 3 x + 9}{144}$

解题步骤 2.2.3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} - 6 x + 9}{144}$

解题步骤 2.2.4

将 $144$ 和 $9$ 相加。

$\frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $81$ 。

$81 \frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = 81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

化简左边。

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解题步骤 4.1.1

约去 $81$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1

约去公因数。

$81 \frac{{(y - 8)}^{2}}{81} = 81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

解题步骤 4.1.1.2

重写表达式。

${(y - 8)}^{2} = 81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.1

从 $81$ 中分解出因数 $9$ 。

${(y - 8)}^{2} = 9 (9) \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

解题步骤 4.2.1.1.2

从 $144$ 中分解出因数 $9$ 。

${(y - 8)}^{2} = 9 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{9 \cdot 16}$

解题步骤 4.2.1.1.3

约去公因数。

${(y - 8)}^{2} = 9 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{9 \cdot 16}$

解题步骤 4.2.1.1.4

重写表达式。

${(y - 8)}^{2} = 9 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{16}$

解题步骤 4.2.1.2

组合 $9$ 和 $\frac{x^{2} - 6 x + 153}{16}$ 。

${(y - 8)}^{2} = \frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}$

解题步骤 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}}$

解题步骤 6

化简 $\pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}$ 重写为 ${(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 153)$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $9 (x^{2} - 6 x + 153)$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}{16}}$

解题步骤 6.1.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$y - 8 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}{4^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 6.1.3

重新整理分数 $\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$y - 8 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}$

解题步骤 6.2

从根式下提出各项。

$y - 8 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $\sqrt{x^{2} - 6 x + 153}$ 。

$y - 8 = \pm \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4}$

解题步骤 7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y - 8 = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4}$

解题步骤 7.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

解题步骤 7.3

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y - 8 = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4}$

解题步骤 7.4

在等式两边都加上 $8$ 。

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

解题步骤 7.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 8$

解题步骤 8

将 $\sqrt{x^{2} - 6 x + 153}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} - 6 x + 153 \geq 0$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

把不等式转换成方程。

$x^{2} - 6 x + 153 = 0$

解题步骤 9.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 9.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 6$ 和 $c = 153$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 153)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

化简分子。

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解题步骤 9.4.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 153$ 。

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解题步骤 9.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $153$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 612}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.1.3

从 $36$ 中减去 $612$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.1.4

将 $- 576$ 重写为 $- 1 (576)$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (576)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.1.7

将 $576$ 重写为 $24^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 24}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.1.9

将 $24$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2}$

解题步骤 9.4.3

化简 $\frac{6 \pm 24 i}{2}$ 。

$x = 3 \pm 12 i$

解题步骤 9.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 9.5.1

化简分子。

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解题步骤 9.5.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 153$ 。

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解题步骤 9.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $153$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 612}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.1.3

从 $36$ 中减去 $612$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.1.4

将 $- 576$ 重写为 $- 1 (576)$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (576)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.1.7

将 $576$ 重写为 $24^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 24}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.1.9

将 $24$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2}$

解题步骤 9.5.3

化简 $\frac{6 \pm 24 i}{2}$ 。

$x = 3 \pm 12 i$

解题步骤 9.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 3 + 12 i$

解题步骤 9.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 9.6.1

化简分子。

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解题步骤 9.6.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 153$ 。

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解题步骤 9.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $153$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 612}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.6.1.3

从 $36$ 中减去 $612$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.6.1.4

将 $- 576$ 重写为 $- 1 (576)$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (576)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.6.1.7

将 $576$ 重写为 $24^{2}$ 。

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.6.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{6 \pm i \cdot 24}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.6.1.9

将 $24$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2}$

解题步骤 9.6.3

化简 $\frac{6 \pm 24 i}{2}$ 。

$x = 3 \pm 12 i$

解题步骤 9.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 3 - 12 i$

解题步骤 9.7

确定首项系数。

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解题步骤 9.7.1

多项式的首项指的是次数最高的项。

$x^{2}$

解题步骤 9.7.2

多项式中的首项系数指的是首项的系数。

$1$

解题步骤 9.8

因为没有真正的 x 轴截距，且首项系数为正数，所以抛物线开口向上且 $x^{2} - 6 x + 153$ 总是大于 $0$ 。

所有实数

解题步骤 10

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 11

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, - 1] \cup [17, \infty)$

集合符号：

${y | y \leq - 1, y \geq 17}$

解题步骤 12

确定定义域和值域。

定义域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

值域： $(- \infty, - 1] \cup [17, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 17}$

解题步骤 13

初级微积分 示例

初级微积分示例